Zadanie nr 9341621

Wysokość podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość √ -- 4 3 , zaś przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt równy π- 3 . Graniastosłup ten wpisano w walec. Oblicz pole powierzchni i objętość walca.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez długość podstawy, a przez wysokość graniastosłupa.

Z podanej wysokości trójkąta równobocznego w podstawie obliczamy długość krawędzi podstawy.

√ -- √ -- a--3- -2-- 4 3 = 2 / ⋅√ 3- 8 = a.

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny BCF .

√ -- √ -- √ -- H- = tg π- = 3 ⇒ H = a 3 = 8 3. a 3

Zauważmy teraz, że walec opisany na graniastosłupie ma taką samą wysokość jak graniastosłup, a promień okręgu podstawy walca jest równy promieniowi okręgu opisanego na podstawie graniastosłupa, czyli