/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 23 marca 2019 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Ile liczb pierwszych spełnia nierówność |7 − |x|| ≥ |x|+ 7 ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) nieskończenie wiele

Zadanie 2
(1 pkt)

W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB dane są: |AB | = 6 oraz ∘ |∡BAC | = 15 . Pole koła opisanego na tym trójkącie jest równe
A) 144 π B) 12 π C) 48 π D) 36π

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba ∘ ----------- ∘ ----------- √ -- 2 √ --2 ( 3− 2) + (3− 3) jest równa
A) 1 B) − 1 C) √ -- 5 − 2 3 D) -- 2√ 3 − 5

Zadanie 4
(1 pkt)

Okresem podstawowym funkcji f(x) = 3 cos(4x + 5 ) określonej dla x ∈ R jest liczba
A) 2π B) π- 2 C) π- 3 D) 3π

Zadanie 5
(1 pkt)

Ciąg (an) określony jest w następujący sposób { √ -- a√1-= − 3 3an = −an −1 dla n ≥ 2. Suma wszystkich wyrazów ciągu (an) jest równa
A) √ - 3+-32-3 B) √- 3+2-3 C) 3−-3√3 2 D) 3−√-3 2

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Zdarzenia losowe A ,B są zawarte w Ω oraz P(B ) > 0,5 . Wykaż, że

′ 2P(A )+ P(A |B) < 2 .

Zadanie 7
(2 pkt)

Wykres funkcji f (x) = 23x−−51x- przesunięto o wektor [− 3,2] i otrzymano wykres funkcji y = g(x) . Oblicz granicę

1 lim -----. x→ −∞ g (x)

Zadanie 8
(3 pkt)

Styczna do paraboli o równaniu √ -- y = 3x 2 − 1 w punkcie P przecina prostą o równaniu √ -- x − y 3+ 3 = 0 pod kątem π- 3 . Oblicz współrzędne punktu P .

Zadanie 9
(3 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnego kąta α ∈ (0, π) 2 prawdziwa jest nierówność

√ -- ( α π ) ( α π ) 3 sin 2-− 12- ⋅sin 2-+ 12- < -4-.

Zadanie 10
(3 pkt)

Liczby a i b są rozwiązaniami równania x2 − 1107x + 9 = 0 . Oblicz wartość wyrażenia

a√ -- ---1---- b√ -- ---1---- log3 a+ alog 3 + log3 b+ blog 3. b a

Zadanie 11
(3 pkt)

Podstawą prostopadłościanu ABCDEF GH o wysokości 4 jest kwadrat ABCD o boku 3. Oblicz sinus kąta, pod którym przecinają się przekątne BH i CE tego prostopadłościanu.

Zadanie 12
(3 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg sześcianów (Sn) określony dla n ≥ 1 . Krawędź pierwszego z nich jest równa a1 = a . Krawędź drugiego z tych sześcianów ma długość a2 równą różnicy długości przekątnej i przekątnej ściany pierwszego sześcianu. Analogicznie, trzeci sześcian ma krawędź a3 o długości równej różnicy długości przekątnej i przekątnej ściany drugiego sześcianu, itd. Oblicz sumę pól powierzchni wszystkich sześcianów tworzących ciąg (Sn) .

Zadanie 13
(4 pkt)

Do dwóch stycznych zewnętrznie okręgów poprowadzono dwie wspólne styczne: jedną zewnętrzną i jedną wewnętrzną. Proste te przecinają się pod kątem 60∘ . Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.

Zadanie 14
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametrów a,b i c , dla których wielomian

W (x) = 25(x − 2)2 + a(x + 1)3 + b (x − 1)5 + c

jest podzielny przez wielomian P(x ) = x3 − 2x2 − x + 2 .

Zadanie 15
(5 pkt)

Do windy na parterze budynku wsiadło 8 osób, po czym każda z nich w sposób losowy wysiadła na jednym z pięciu pięter budynku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na dwóch różnych piętrach wysiadły po trzy osoby?

Zadanie 16
(6 pkt)

Punkt A = (− 1,− 7) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Obie współrzędne wierzchołka B są liczbami dodatnimi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x2 + y2 = 10 . Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Zadanie 17
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości x . Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

PIC

  • Wyznacz objętość V drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej x .
  • Wyznacz dziedzinę funkcji V .
  • Oblicz tę wartość x , dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja V osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania