/Szkoła średnia

Zadanie nr 9349844

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ze zbioru liczb {1,2,...,2n ,2n + 1} , (n > 0) , losujemy jednocześnie dwie liczby. Niech An oznacza zdarzenie: iloczyn wylosowanych liczb będzie liczbą parzystą. Wyznacz prawdopodobieństwo tego zdarzenia.

Rozwiązanie

Dwie liczby z podanego zbioru można wylosować na

( 2n + 1) (2n + 1)2n |Ω | = = -----------= n(2n + 1 ). 2 2

W podanym zbiorze jest n liczb parzystych (2,4,...,2n ) oraz n + 1 liczb nieparzystych (1,3,...,2n + 1 ).

Sposób I

Mamy dwa rodzaje zdarzeń sprzyjających: możemy wylosować dwie liczby parzyste, lub jedną parzystą i jedną nieparzystą. Dwie liczby parzyste możemy wylosować na

( ) n n(n-−-1)- 2 = 2

sposobów, a jedną parzystą i jedną nieparzystą na

n(n + 1)

sposobów. Zatem szukane prawdopodobieństwo jest równe

n(n−1) P(A ) = --2---+--n(n-+-1)-= n-−-1-+-2n-+-2-= 3n-+-1-. n n(2n + 1) 4n + 2 4n + 2

Sposób II

Mogliśmy też łatwo policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, czyli prawdopodobieństwo wylosowania pary liczby, których iloczyn jest nieparzysty. Aby tak było, obie liczby muszą być nieparzyste, co może się zdarzyć na

( ) n + 1 (n+ 1)n = --------- 2 2

sposobów. Zatem

(n+1)n P (A ) = 1− P(A ′) = 1 − -----2---- = 1 − n-+-1--= 3n-+-1. n n n (2n + 1) 4n+ 2 4n + 2

 
Odpowiedź: 3n+ 1 P (n) = 4n+-2

Wersja PDF