/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 29 kwietnia 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(1 pkt)

Liczba 312+ 12+12 jest równa
A) √ -- √ -- √ -- 3 + 3 + 3 B) √ -- √ -- 3 ⋅ 3 C) D) √ -- 39

Zadanie 2

(1 pkt)

Wartość wyrażenia 2 lo g40,2 5+ 2 − 12 log4 256 jest równa
A) 0 B) − 2 C) 2 D) 4

Zadanie 3

(1 pkt)

Kwotę 10 000 zł ulokowano w banku na dwuletnią lokatę oprocentowaną w wysokości 5% w stosunku rocznym. Co pół roku środki zgromadzone na lokacie są powiększane o odsetki, od których odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie dwóch lat będzie można wypłacić z banku, jest równa
A) 2 100 00⋅(1 ,0 405) B) 4 1000 0⋅(1,0 5) ⋅0,8 1
C) 1000 0⋅(1,01 62)2 D) 10 000⋅ (1,02025)4

Zadanie 4

(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej wartość wyrażenia (2 − 3t)(4+ 9t2)(3t+ 2 ) jest równa
A) 2 16 − 9t B) 4 4− 9t C) 2 12 − 27t D) 4 16− 81t

Informacja do zadań 5.1 i 5.2

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , przedstawiono wykres funkcji określonej dla każdego x ∈ (− 6,5] . Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

Zadanie 5.1

(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja jest malejąca na przedziale .	P	F
Dla każdego argumentu z przedziału funkcja przyjmuje wartości niedodatnie.	P	F

Zadanie 5.2

(1 pkt)

Wyznacz zbiór wartości funkcji .

Zadanie 6

(1 pkt)

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują cztery różne cyfry parzyste jest
A) 120 B) 96 C) 625 D) 500

Zadanie 7

(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli liczba nie dzieli się przez 3, to liczba 2 n + 2024 jest podzielna przez 3.

Informacja do zadań 8.1 i 8.2

W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są punkty: A = (2,− 5) , B = (10 ,3) i C = (− 2,7 ) .

Zadanie 8.1

(1 pkt)

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Punkty , i

A)	są współliniowe,
B)	są wierzchołkami trójkąta prostokątnego,
C)	są wierzchołkami trójkąta równoramiennego,

ponieważ

Zadanie 8.2

(1 pkt)

Środek odcinka łączącego punkt ze środkiem odcinka ma współrzędne
A) (4,5) B) (3,0 ) C) (4,1) D) ( 7 ) 2,1

Zadanie 9

(1 pkt)

Dana jest funkcja liniowa określona wzorem f(x) = ax + b , gdzie i są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) na rysunku poniżej

Współczynniki i we wzorze funkcji spełniają warunki
A) a > 0 i b > 0 B) a > 0 i b < 0 C) a < 0 i b > 0 D) a < 0 i b < 0

Zadanie 10

(1 pkt)

Dla każdej dodatniej liczby wyrażenie ( 6√ -- 3√ -)− 2 b : b jest równe
A) 2 b B) 0,25 b C) 1 b3 D) 4 b3

Zadanie 11

(1 pkt)

Wartość wyrażenia (2 − sin 15∘)⋅(2 + sin 15∘)− cos215 ∘ jest równa
A) (− 1) B) 3 C) 15 D) 0

Zadanie 12

(1 pkt)

Dany jest układ równań

{ 3x + y = a x − 3y = b,

gdzie i są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na którym z rysunków może być przedstawiona interpretacja geometryczna tego układu równań?

Zadanie 13

(2 pkt)

Rozwiąż równanie 3 2 6x + 8x + 9x+ 12 = 0 .

Zadanie 14

(1 pkt)

Dwa krótsze boki trójkąta rozwartokątnego ABC mają długości |AB | = 6 i |BC | = 5 . Sinus największego kąta tego trójkąta jest równy 3 5 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Pole trójkąta jest mniejsze od 10.	P	F
Cosinus kąta trójkąta jest równy .	P	F

Zadanie 15

(1 pkt)

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania 2 3 (x+ 3)(x − 4) = 0 jest równy
A) − 12 B) − 36 C) 36 D) 12

Zadanie 16

(2 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . W tym ciągu a = 8 1 , a = − 7 2 , a = − 22 3 .
Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Wzór ogólny ciągu (an) ma postać
A) an = 8 − 1 2(n− 1) B) an = 2 3− 15n
C) an = 8 − 15 (n− 1) D) an = 7− 15n

E) an = − 7 + 15n F) an = 23 − 15(n − 1 )

Zadanie 17

(1 pkt)

Dany jest ciąg (an ) określony wzorem a = n − 2n 2 n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg jest malejący.	P	F
Siódmy wyraz ciągu jest równy .	P	F

Zadanie 18

(1 pkt)

Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego ABC poprowadzono prostą równoległą do podstawy (zobacz rysunek).

Stosunek pola trójkąta CDE do pola trapezu DABE jest równy
A) 5 : 9 B) 4 : 5 C) 4 : 9 D) 3 : 2

Zadanie 19

(4 pkt)

Tekturowy karton ma mieć kształt prostopadłościanu, którego podstawa jest prostokątem o jednym z boków dłuższym od drugiego o 24 cm. Suma wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu ma być równa 480 cm.

Napisz wzór funkcji wyrażającej całkowite pole zewnętrznej powierzchni kartonu, w zależności od długości krótszej krawędzi jego podstawy. Podaj dziedzinę funkcji .
Oblicz jakie powinny być wymiary tego kartonu tak, aby łączne pole powierzchni jego ścian było największe możliwe.

Informacja do zadań 20.1 – 20.3

Dana jest funkcja kwadratowa , której fragment wykresu przedstawiono na rysunku poniżej. Wykresem funkcji jest parabola, której punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Zadanie 20.1

(1 pkt)

Funkcja jest określona za pomocą funkcji następująco: g (x) = 1 − f(x ) . Wykres funkcji przedstawiono na rysunku

Zadanie 20.2

(1 pkt)

Rozwiąż nierówność f (x) ≤ 3 .

Zadanie 20.3

(3 pkt)

Wyznacz zbiór wartości funkcji .

Zadanie 21

(1 pkt)

Odcinek jest średnicą okręgu o środku w punkcie i promieniu r = 4 (zobacz rysunek). Cięciwa ma długość √ --- 2 11 .

Sinus kąta BAC jest równy
A) √ - --5 4 B) √ -- --11 4 C) √ -- --10 8 D) √ - -23

Zadanie 22

(1 pkt)

Ze zbioru ośmioelementowego M = { 1,2,3,4,5,6,7,8 } losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru , których iloczyn jest równy 24. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia .

Zadanie 23

(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , dane są proste oraz o równaniach

1 k : y = --x− 1 3 l : y = 3x − 1.

Proste oraz
A) nie mają punktów wspólnych. B) są prostopadłe.
C) przecinają się w punkcie P = (0,− 1) . D) pokrywają się.

Zadanie 24

(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu (an) są równe . Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
A) 15 8 B) 31- 16 C) -1 32 D)

Zadanie 25

(1 pkt)

Jedną z liczb spełniających nierówność x4 − 2x3 − 2 < 0 jest
A) 3 B) (− 1) C) 2 D) (− 2)

Zadanie 26

(1 pkt)

Cięciwy i okręgu o środku przecinają się w punkcie . Ponadto |AS | = 9 , |DS | = 6 i |CS | = 14 (zobacz rysunek).

Długość odcinka jest równa
A) 24 B) 20 C) 21 D) 18

Zadanie 27

(1 pkt)

Jeżeli b > a > 0 to wyrażenie |5b − 2a| − |a− 3b| jest równe
A) 8b − 3a B) 3a − 8b C) 2b − a D) a − 2b

Zadanie 28

(1 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku . Środkowa tworzy z przyprostokątną kąt ∘ 3 0 . Wynika stąd, że kąt między tą środkową a wysokością trójkąta ma miarę
A) 30∘ B) 4 0∘ C) 45∘ D) 20∘

Zadanie 29

(2 pkt)

Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 6, 7 oraz 8. Oblicz cosinus najmniejszego kąta tego trójkąta.

Zadanie 30

(1 pkt)

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o objętości 32√ 3- rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt ABCD , w którym bok odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa), a przekątna tworzy z bokiem kąt o mierze 30 ∘ (zobacz rysunek).