/Szkoła średnia

Zadanie nr 9444392

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa √ - 5--3 4 , a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe 15√-3 4 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a krawędź podstawy ostrosłupa, a przez 5√3- h = 4 wysokość ściany bocznej.

PIC

Z podanego pola powierzchni bocznej mamy

√ -- √ -- √ -- 1-5--3 = 3 ⋅ 1-ah = 3-⋅ 5-3a = 15--3a / ⋅--8√--- 4 2 2 4 8 15 3 2 = a.

Musimy jeszcze obliczyć wysokość H ostrosłupa. Zrobimy to z trójkąta prostokątnego DES , ale najpierw zauważmy, że DE to 13 wysokości trójkąta równobocznego w podstawie ostrosłupa, więc

√ -- √ -- 1- a--3- --3- DE = 3 ⋅ 2 = 3 .

Mamy zatem

∘ ---------- ∘ --------- √ ---- √ ---- ∘ ------------ 25 ⋅3 3 675 − 4 8 6 27 6 27 H = SD 2 − DE 2 = -----− --= --------- = ------ = ------. 16 9 16 ⋅9 4 ⋅3 12

Objętość ostrosłupa jest więc równa

2√ -- √ ---- √ -- √ ------- √ ---- V = 1-P ⋅ H = 1-⋅ a--3-⋅ --627-= 1⋅ --3-⋅--3⋅2-09-= --209. 3 p 3 4 12 3 12 12

 
Odpowiedź: √ --- V = --21209

Wersja PDF