/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CKE)
poziom podstawowy 29 września 2022 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Wartość wyrażenia (1 + 3 ⋅2−1)− 2 jest równa
A) 25 4 B) 4- 25 C) 36 49 D) 40 9

Zadanie 2
(1 pkt)

Wartość wyrażenia 1 2 lo g55 + 1 − 2 log56 25 jest równa
A) 1 B) 5 C) 10 D) 25

Zadanie 3
(1 pkt)

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez 25, jest
A) 9 ⋅9⋅ 2 B) 9⋅ 10⋅2 C) 9 ⋅9 ⋅4 D) 9 ⋅10 ⋅4

Zadanie 4
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 1 wyrażenie -2-- x−1 − 5 jest równe
A) −x5−x+11 B) −x5−x+17 C) −-5x+3 x−1 D) −5x−-3 x−1

Zadanie 5
(2 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y wyrażenie

9 − (x2 − 2xy + y2)

jest równe
A) [3− (x − 2y)]2 B) [3+ (x− 2y)]2
C) 2 [3− (x+ 2y)] D) [3− (x− y)]⋅[3+ (x − y)]

E) [3− (x + 2y)]⋅[3+ (x + 2y)] F) − [(x− y)− 3]⋅[(x − y) + 3]

Zadanie 6
(3 pkt)

Rozwiąż równanie 3x 3 − 6x 2 − 27x + 54 = 0 .

Zadanie 7
(1 pkt)

Równanie

(x2 + x)(x+ 3)(x − 1) -----------------------= 0 x2 − 1

ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie
A) jedno rozwiązanie: x = − 3
B) dwa rozwiązania: x = − 3, x = 0
C) trzy rozwiązania: x = −3 , x = − 1, x = 0
D) cztery rozwiązania: x = − 3, x = − 1, x = 0, x = 1

Zadanie 8
(1 pkt)

Wskaż nierówność, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.

ZINFO-FIGURE

A) |x + 2| ≤ 2 B) |x − 2| ≤ 2 C) |x+ 2| ≥ 2 D) |x − 2| ≥ 2

Zadanie 9
(1 pkt)

Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę 1040 zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach 20 zł, 50 zł oraz 100 zł. Banknotów 100–złotowych było dwa razy więcej niż 50–złotowych, a banknotów 20–złotowych było o 2 mniej niż 50–złotowych. Niech x oznacza liczbę banknotów 50–złotowych, a y – liczbę banknotów 20–złotowych, które otrzymał ten klient. Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb x i y to
A) { 2 0y+ 50x + 100 ⋅2x = 1040 y = x − 2 B) { 20y+ 50x + 50x ⋅2 = 1040 y = x − 2
C) { 20y + 50x + 100 ⋅2x = 1040 x = y− 2 D) { 20y+ 50x + 50x ⋅2 = 1040 x = y − 2

Informacja do zadań 10.1 – 10.3

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , przedstawiono wykres funkcji f określonej dla każdego x ∈ [− 5,4) . Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

ZINFO-FIGURE
Zadanie 10.1
(1 pkt)

Wyznacz zbiór wartości funkcji f .

Zadanie 10.2
(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Dla każdego argumentu z przedziału (− 4,− 2) funkcja f przyjmuje wartości ujemne. PF
Funkcja f ma trzy miejsca zerowe. PF

Zadanie 10.3
(1 pkt)

Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale [− 4,0] jest równa
A) (− 4) B) (− 3) C) (− 2) D) 0

Zadanie 11
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są: punkt A = (8,1 1) oraz okrąg o równaniu (x− 3)2 + (y+ 1)2 = 25 . Odległość punktu A od środka tego okręgu jest równa
A) 25 B) 13 C) √ ---- 125 D) √ ---- 265

Informacja do zadań 12.1 i 12.2

Basen ma długość 25 m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa 1,2 m. Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku. Głębokość y basenu zmienia się wraz z odległością x od brzegu w sposób opisany funkcją:

{ ax + b dla 0 ≤ x ≤ 15 m y = 0 ,18x − 0,9 dla 15 m ≤ x ≤ 25 m

Odległość x jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości x i y są wyrażone w metrach.

ZINFO-FIGURE
Zadanie 12.1
(1 pkt)

Największa głębokość basenu jest równa
A) 5,4 m B) 3,6 m C) 2,2 m D) 1,8 m

Zadanie 12.2
(2 pkt)

Oblicz wartość współczynnika a oraz wartość współczynnika b .

Informacja do zadań 13.1 i 13.2

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem 2 f (x) = − (x − 1) + 2 .

Zadanie 13.1
(1 pkt)

Wykresem funkcji f jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne
A) (1,2) B) (− 1,2) C) (1,− 2) D) (− 1,− 2)

Zadanie 13.2
(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A) (− ∞ ,2] B) (− ∞ ,2) C) (2,+ ∞ ) D) [2 ,+∞ )

Informacja do zadań 14.1 i 14.2

Dany jest ciąg (an) określony wzorem 7n an = 21- dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 .

Zadanie 14.1
(1 pkt)

Pięćdziesiątym wyrazem ciągu (an) jest
A) 49 73- B) 50 73- C) 51 73- D) 752 3

Zadanie 14.2
(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg (an ) jest geometryczny. PF
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 20.PF

Zadanie 15
(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , dana jest prosta k o równaniu y = 3x+ b , przechodząca przez punkt A = (− 1,3) . Współczynnik b w równaniu tej prostej jest równy
A) 0 B) 6 C) (−1 0) D) 8

Informacja do zadań 16.1 – 16.3

Dany jest ciąg (an ) określony wzorem an = 3n − 1 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 .

Zadanie 16.1
(1 pkt)


Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Ciąg (an) jest

A) rosnący,B) malejący,C) stały,

ponieważ dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1

1) an+1 − an = − 1 ,2) an+1 − an = 0 ,3) an+ 1 − an = 3 ,

Zadanie 16.2
(1 pkt)

Najmniejszą wartością n , dla której wyraz an jest większy od 25, jest
A) 8 B) 9 C) 7 D) 26

Zadanie 16.3
(1 pkt)

Suma n początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 57 dla n równego
A) 6 B) 23 C) 5 D) 11

Zadanie 17
(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , dane są:
– prosta k o równaniu y = 1x+ 5 2
– prosta l o równaniu y− 1 = − 2x .
Proste k i l
A) pokrywają się. B) nie mają punktów wspólnych.
C) są prostopadłe. D) przecinają się pod kątem ∘ 30 .

Zadanie 18
(1 pkt)

Wartość wyrażenia ∘ ∘ 2 ∘ (1 − cos 20 ) ⋅(1+ cos20 )− sin 20 jest równa
A) (− 1) B) 0 C) 1 D) 20

Zadanie 19
(1 pkt)

W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy 4 : 5. Z pojemnika losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
A) 4 9 B) 4 5 C) 1 9 D) 14

Zadanie 20
(1 pkt)

Punkty A ,B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O . Kąt ABO ma miarę ∘ 40 , a kąt OBC ma miarę 1 0∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Miara kąta ACO jest równa
A) 30∘ B) 4 0∘ C) 50∘ D) 60∘

Zadanie 21
(2 pkt)

Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 6, 7 oraz 8. Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.

Zadanie 22
(1 pkt)

W trójkącie ABC bok AB ma długość 4, a bok BC ma długość 4,6. Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC w punkcie D takim, że |AD | = 3,2 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Odcinek CD ma długość
A) 6243 B) 165- C) 234 D) 92 25

Zadanie 23
(4 pkt)

Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że przychód P (w złotych) z tygodniowej sprzedaży x wiatraków można opisać funkcją

P (x) = 25 1x,

a koszt K (w złotych) produkcji x wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją

2 K (x) = x + 21x + 170.

Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 150 wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.

Informacja do zadań 24.1 – 24.3

Firma F zatrudnia 160 osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy F , którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

ZINFO-FIGURE
Zadanie 24.1
(1 pkt)

Średnia miesięczna płaca brutto w firmie F jest równa
A) 4 593,75 zł B) 4 800,00 zł C) 5 360,00 zł D) 2 399,33 zł

Zadanie 24.2
(1 pkt)

Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy F jest równa
A) 4 000 zł B) 4 800 zł C) 5 000 zł D) 5 500 zł

Zadanie 24.3
(1 pkt)

Liczba pracowników firmy F , których miesięczna płaca brutto nie przewyższa 5 000 zł, stanowi (w zaokrągleniu do 1%)
A) 91% liczby wszystkich pracowników tej firmy.
B) 78% liczby wszystkich pracowników tej firmy.
C) 53% liczby wszystkich pracowników tej firmy.
D) 22% liczby wszystkich pracowników tej firmy.

Zadanie 25
(3 pkt)

Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość √ -- 10 3 , a każda jego krawędź boczna ma długość 15. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Zadanie 26
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 10n 2 + 3 0n + 8 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania