/Szkoła średnia

Zadanie nr 9458239

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie ABC dane są wierzchołki A = (2,2) , B = (9,3) , C = (3,5) . Trójkąt A 1B1C1 jest obrazem trójkąta ABC w jednokładności o środku S = (0,3) i skali k . Trójkąty te leżą po przeciwnych stronach osi rzędnych. Promień okręgu opisanego na trójkącie A 1B1C 1 ma długość 15√-2 2 . Skala jednokładności k wynosi
A) − 3 B) − 13 C) 13 D) 3

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Nawet ze szkicowego rysunku powinno się rzucać w oczy, że trójkąt ABC jest prostokątny. Sprawdźmy, czy rzeczywiście tak jest.

∘ ------- √ --- AB = 72 + 12 = 5 0 √ ------- √ --- BC = 36 + 4 = 40 √ ------ √ --- CA = 1+ 9 = 10.

Zatem rzeczywiście 2 2 2 AB = BC + CA i trójkąt ABC jest prostokątny. W takim razie promień R okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

√ --- √ -- R = AB-- = --5-0 = 5---2. 2 2 2

Wiemy, że promień okręgu opisanego na trójkącie A 1B 1C1 jest 3 razy dłuższy, więc k = ± 3 . Gdyby jednak k było dodatnie, to oba trójkąty leżałyby po tej samej stronie osi Oy . Zatem k = − 3 .  
Odpowiedź: A

Wersja PDF