Zadanie nr 9475703

Liczby rzeczywiste x,y spełniają warunki: x > 1 , y > 1 oraz 3 3 x > y + 1 . Wykaż, że prawdziwa jest równość

-------1------ ⋅------1------- = -------1------ ⋅-------1------. logx (x3 + y3) logy (x3 − y3) logy (x3 + y3) logx (x3 − y3)

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru

lo g b loga b = ---c-- lo gca

na zmianę podstawy logarytmu.

Sposób I

Przekształcamy daną równość w sposób równoważny – zmieniamy podstawy wszystkich logarytmów na .

1 1 1 1 -------------- ⋅-----3--3- = ------3--3 ⋅ -------------- logx (x3 + y3) logx(x-−y-) logx(x+y-)- logx (x3 − y3) logxy logxy -------1------ ----logx-y---- ----logx-y---- -------1------ log (x3 + y3) ⋅log (x3 − y3) = log (x3 + y3) ⋅log (x3 − y3). x x x x

Otrzymana równość jest oczywiście prawdziwa, więc wyjściowa równość też musiała być spełniona (bo przekształcaliśmy ją w sposób równoważny).

Sposób II

Przekształcamy daną równość w sposób równoważny – zmieniamy podstawy wszystkich logarytmów na 10.

----1----- ----1----- ----1----- ----1----- log(x3+y3)⋅ log(x3−y3) = log(x3+y3)⋅ log(x3−y3) logx logy logy logx log x log y log y log x ------3----3- ⋅------3----3- = ------3----3- ⋅------3----3-. log (x + y ) log (x − y ) log (x + y ) log (x − y )

Otrzymana równość jest oczywiście prawdziwa, więc wyjściowa równość też musiała być spełniona (bo przekształcaliśmy ją w sposób równoważny).

Sposób III

Równość, którą mamy udowodnić możemy zapisać w postaci

( ) ( ) log x3 − y3 logy x3 − y3 ---x---3----3- = ------3----3--. logx (x + y ) lo gy(x + y )

Na mocy wzoru na zmianę podstawy logarytmu, każda ze stron jest równa wyrażeniu

log 3 3(x3 − y3). x +y