Zadanie nr 9515620

Wykaż, że jeżeli a ⁄= 0 i b ⁄= 0 , to 4 4 a6 b6 a + b ≤ b2 + a2 .

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

6 6 a 4 + b4 ≤ a--+ b-- / ⋅a2b2 b2 a2 a 6b2 + a 2b 6 ≤ a8 + b8 8 6 2 8 2 6 0 ≤ a − a b + b − a b 0 ≤ a6(a2 − b2)+ b 6(b2 − a 2) 0 ≤ a6(a2 − b2)− b 6(a2 − b 2) 6 6 2 2 0 ≤ (a − b )(a − b ).

Sposób I

Nierówność jest oczywiście spełniona, gdy |a| = |b| . Jeżeli |a| > |b| , to oba wyrażenia po prawej stronie są dodatnie, więc ich iloczyn jest dodatni. Jeżeli w końcu |a| < |b| , to oba wyrażenia po prawej stronie nierówności są ujemne i ich iloczyn też jest dodatni.