Zadanie nr 9542067

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.

Rozwiązanie

Wiemy, że wylosowana liczba dzieli się przez 3 (bo dzieli się przez 18), więc podzielność przez 15 sprowadza się do podzielności przez 5.

Sposób I

Ustalmy najpierw ile jest liczb czterocyfrowych podzielnych przez 18. Są to liczby

100 8 = 56 ⋅18, 10 26 = 57 ⋅18,...,999 0 = 555 ⋅18.

Jest więc 55 5− 5 5 = 500 takich liczb.

Ile spośród tych liczb dzieli się przez 5? – są to liczby podzielne przez 90, czyli liczby

108 0 = 12 ⋅90, 11 70 = 13 ⋅90,...,999 0 = 111 ⋅90.

Jest ich więc 111 − 11 = 1 00 i interesujące nas prawdopodobieństwo jest równe

100-= 1. 500 5

Sposób II

Jeżeli oznaczymy przez i zdarzenia polegające na wylosowaniu liczby czterocyfrowej podzielnej odpowiednio przez 15 i 18, to musimy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe

P (A |B ) = P-(A-∩-B-). P(B )

Liczby czterocyfrowe podzielne przez 18 tworzą skończony ciąg arytmetyczny (an) o różnicy r = 18 i taki, że

{ a1 = 1 008 = 56 ⋅18 an = 9990 = 55 5⋅18 .

Mamy stąd

9990 = an = a1 + (n − 1)r = 10 08+ 18(n − 1) / : 18 n − 1 = 49 9 ⇒ n = 5 00.

Zatem

5-00- -5- P (B) = 9000 = 90

(bo wszystkich liczb czterocyfrowych jest 999 9− 9 99 = 900 0 ).

Zajmijmy się teraz zdarzeniem A ∩ B , czyli liczbami, które są jednocześnie podzielne przez 15 i 18. Takie liczby to dokładnie liczby podzielne przez 90. Tworzą one skończony ciąg arytmetyczny (an) o różnicy r = 90 i taki, że