Zadanie nr 9636315

Czworokąty ABCD i AP QR są kwadratami. Udowodnij, że |BP | = |DR | .

Rozwiązanie

Sposób I

Jak się chwilę zastanowimy, to można zauważyć, że tak naprawdę mamy udowodnić przystawanie trójkątów ABP i ADR (mają one dwa boki równe i mamy udowodnić, że trzecie boki też są równe). Aby to zrobić, wystarczy pokazać, że ∡BAP = ∡DAR . To jednak jest dość proste. Patrząc na kwadrat ABCD mamy

∡DAP = 9 0∘ − ∡BAP .

Jeżeli teraz popatrzymy na kwadrat AP QR to

∡DAR = 9 0∘ − ∡DAP = 90∘ − (90∘ − ∡BAP ) = ∡BAP ,

co kończy dowód.

Mogliśmy też równość kątów ∡BAP i ∡DAR uzasadnić następująco

∡BAP + 90∘ = ∡BAR = 9 0∘ + ∡DAR ⇒ ∡BAP = ∡DAR .

Sposób II

Niech będzie obrotem płaszczyzny o kąt ∘ 90 (obracamy o kąt dodatni, czyli w lewo) względem punktu . W takim razie O(B ) = D i O (P) = R . To oznacza, że O (BP ) = DR , czyli odcinki te mają równe długości (obrót jest izometrią – zachowuje długość odcinków).