/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 9 maja 2016 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

W rozwinięciu wyrażenia √ -- 3 (2 3x+ 4y) współczynnik przy iloczynie 2 xy jest równy
A) √ -- 32 3 B) 48 C) -- 96 √ 3 D) 144

Zadanie 2
(1 pkt)

Wielomian W (x) = 6x3 + 3x2 − 5x + p jest podzielny przez dwumian x − 1 dla p równego
A) 4 B) − 2 C) 2 D) − 4

Zadanie 3
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej y = f (x) , której dziedziną jest zbiór D = (−∞ ,3 )∪ (3,+ ∞ ) .

PIC

Równanie |f(x)| = p z niewiadomą x ma dokładnie jedno rozwiązanie
A) w dwóch przypadkach: p = 0 lub p = 3 .
B) w dwóch przypadkach: p = 0 lub p = 2 .
C) tylko wtedy, gdy p = 3 .
D) tylko wtedy, gdy p = 2 .

Zadanie 4
(1 pkt)

Funkcja f (x) = 3x−1- x2+4 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x . Pochodna tej funkcji jest określona wzorem
A) 2 f′(x) = −3x2+2x+212- (x + 4) B) 2 f ′(x) = −9x-+22x−2-12- (x+ 4) C) ′ 3x2− 2x− 12 f (x) = -(x2+-4)2-- D) ′ 9x2−-2x+12 f (x) = (x2+4)2

Zadanie 5
(1 pkt)

Granica 2 3 lim (pn+64n)-= − 8 n→+ ∞ 5n− 4 5 . Wynika stąd, że
A) p = − 8 B) p = 4 C) p = 2 D) p = − 2

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Wśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli.

Badane grupy  Liczba osób popierających
budowę przedszkola 		Liczba osób niepopierających budowy przedszkola
Kobiety 5140 1860
Mężczyźni 2260 740

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, popiera budowę przedszkola, jeśli wiadomo, że jest mężczyzną.

Zadanie 7
(2 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem ( )n an = 2x1−371 dla n ≥ 1 . Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x , dla której nieskończony szereg a1 + a2 + a3 + ... jest zbieżny.

Zadanie 8
(3 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że 2 2 x + y = 2 , prawdziwa jest nierówność x + y ≤ 2 .

Zadanie 9
(3 pkt)

Dany jest prostokąt ABCD . Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N . Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M , a środek S tego okręgu leży na odcinku MN , jak na rysunku.

PIC

Wykaż, że |MN | = |AD | .

Zadanie 10
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których wykresy funkcji f i g , określonych wzorami f(x) = x− 2 oraz g (x) = 5 − ax , przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Zadanie 11
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność √- 2-cosx−2--3 < 0 cos x w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 12
(6 pkt)

Dany jest trójmian kwadratowy f(x) = x2 + 2(m + 1)x + 6m + 1 . Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m , dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1,x 2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1 − x2| < 3 .

Zadanie 13
(5 pkt)

Punkty A = (30,32) i B = (0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x− y+ 2 = 0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC . Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Zadanie 14
(3 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.

Zadanie 15
(6 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę ∘ 120 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 16
(7 pkt)

Parabola o równaniu 1 2 y = 2− 2x przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (− 2,0) i B = (2,0) . Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD , których dłuższą podstawą jest odcinek AB , a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

PIC

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C . Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania