/Szkoła średnia

Poprawkowy Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 23 sierpnia 2016 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Suma pięciu kolejnych liczb całkowitych jest równa 195. Najmniejszą z tych liczb jest
A) 37 B) 38 C) 39 D) 40

Zadanie 2
(1 pkt)

Buty, które kosztowały 220 złotych, przeceniono i sprzedano za 176 złotych. O ile procent obniżono cenę butów?
A) 80 B) 20 C) 22 D) 44

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba 45⋅54 -204 jest równa
A) 44 B) 20 16 C) 205 D) 4

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba log3729- log636 jest równa
A) log 6693 B) 3 C) 81 log12 4 D) 4

Zadanie 5
(1 pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność √ -- x + 7 > 0 5 jest
A) − 14 B) − 13 C) 13 D) 14

Zadanie 6
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x) = (x − 1)(x − 9 ) . Wynika stąd, że funkcja f jest rosnąca w przedziale
A) ⟨5,+ ∞ ) B) (− ∞ ,5⟩ C) (− ∞ ,− 5⟩ D) ⟨− 5,+ ∞ )

Zadanie 7
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f , przy czym f (0) = − 2 i f(1) = 0 .

PIC

Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f względem początku układu współrzędnych. Funkcja g jest określona wzorem
A) g(x ) = 2x + 2 B) g (x) = 2x − 2 C) g(x ) = − 2x+ 2 D) g (x ) = − 2x − 2

Zadanie 8
(1 pkt)

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy (− 216) . Iloraz tego ciągu jest równy
A) − 224 3 B) − 3 C) − 9 D) − 27

Zadanie 9
(1 pkt)

Kąt α jest ostry i sin α = 4 5 . Wtedy wartość wyrażenia sin α − co sα jest równa
A) 1 5 B) 3 5 C) 17 25 D) -1 25

Zadanie 10
(1 pkt)

Jeśli funkcja kwadratowa f (x) = x2 + 2x + 3a nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba a spełnia warunek
A) a < − 1 B) − 1 ≤ a < 0 C) 1 0 ≤ a < 3 D) 1 a > 3

Zadanie 11
(1 pkt)

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej n suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest określona wzorem Sn = 2n 2 + n . Wtedy wyraz a2 jest równy
A) 3 B) 6 C) 7 D) 10

Zadanie 12
(1 pkt)

Układ równań { 2x− 3y = 5 −4x + 6y = − 10.
A) nie ma rozwiązań
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie
C) ma dokładnie dwa rozwiązania
D) ma nieskończenie wiele rozwiązań

Zadanie 13
(1 pkt)

Liczba |3−9| -−-3- jest równa
A) 2 B) − 2 C) 0 D) − 4

Zadanie 14
(1 pkt)

Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych (m − 1,2m + 5) , gdzie m jest dowolną liczbą rzeczywistą?
A) y = 2x+ 5 B) y = 2x + 6 C) y = 2x + 7 D) y = 2x+ 8

Zadanie 15
(1 pkt)

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120∘ , a tworząca tego stożka ma długość 6. Promień podstawy stożka jest równy
A) 3 B) 6 C) √ -- 3 3 D) √ -- 6 3

Zadanie 16
(1 pkt)

Wartość wyrażenia ∘ ∘ 2 ∘ (tg 60 + tg 45 ) − sin 60 jest równa
A) √ - 2 − 3--3 2 B) √ - 2 + --3 2 C) √-3 4 − 2 D) 3√3- 4+ 2

Zadanie 17
(1 pkt)

Dany jest walec, w którym promień podstawy jest równy r , a wysokość walca jest od tego promienia dwa razy większa. Objętość tego walca jest równa
A) 2πr 3 B) 4πr 3 C) πr 2(r+ 2) D) πr2(r − 2)

Zadanie 18
(1 pkt)

Przekątne równoległoboku mają długości 4 i 8, a kąt między tymi przekątnymi ma miarę 30∘ . Pole tego równoległoboku jest równe
A) 32 B) 16 C) 12 D) 8

Zadanie 19
(1 pkt)

Punkty A,B ,C i D leżą na okręgu o środku S . Cięciwa CD przecina średnicę AB tego okręgu w punkcie E tak, że |∡BEC | = 10 0∘ . Kąt środkowy ASC ma miarę 110∘ (zobacz rysunek).

PIC

Kąt wpisany BAD ma miarę
A) 15∘ B) 2 0∘ C) 25∘ D) 30∘

Zadanie 20
(1 pkt)

Okręgi o środkach S = (3,4) 1 oraz S = (9,− 4) 2 i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy
A) 8 B) 6 C) 5 D) 52

Zadanie 21
(1 pkt)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2, a przekątna ściany bocznej ma długość 3 (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę α .

PIC

Wtedy wartość sin α2 jest równa
A) 2 3 B) √- -7- 3 C) √- -7- 7 D) √ - -32

Zadanie 22
(1 pkt)

Różnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa 11. Podstawą tego ostrosłupa jest
A) dziesięciokąt. B) jedenastokąt. C) dwunastokąt. D) trzynastokąt.

Zadanie 23
(1 pkt)

Jeżeli do zestawu czterech danych: 4,7,8,x dołączymy liczbę 2, to średnia arytmetyczna wzrośnie o 2. Zatem
A) x = − 51 B) x = −6 C) x = 1 0 D) x = 29

Zadanie 24
(1 pkt)

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3?
A) 12 B) 24 C) 29 D) 30

Zadanie 25
(1 pkt)

Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wynikiem rzutu są dwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe
A) 418 B) 124- C) 112 D) 1 3

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 3x 2 − 6x ≥ (x − 2)(x − 8) .

Zadanie 27
(2 pkt)

Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy 32, a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę 2. Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy 6, to otrzymamy liczbę -8 17 . Wyznacz ten ułamek.

Zadanie 28
(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają warunek abc = 1 , to

− 1 −1 −1 a + b + c = ab + ac + bc.

Zadanie 29
(2 pkt)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = x 2 − 1 1x . Oblicz najmniejszą wartość funkcji f w przedziale ⟨− 6,6 ⟩ .

Zadanie 30
(2 pkt)

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne AC oraz BD przecinają się w punkcie S . Wykaż, że jeżeli 5 |AS | = 6|AC | , to pole trójkąta ABS jest 25 razy większe od pola trójkąta DCS .

Zadanie 31
(4 pkt)

Ciąg arytmetyczny (an ) określony jest wzorem an = 201 6− 3n , dla n ≥ 1 . Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Zadanie 32
(4 pkt)

Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego ABC : A = (− 3,− 3) i C = (2,7) oraz prosta o równaniu 3 3 y = 4x − 4 , zawierająca przeciwprostokątną AB tego trójkąta.

PIC

Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta i długość odcinka AB .

Zadanie 33
(5 pkt)

Trójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS , w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60∘ , a krawędź boczna ma długość 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

PIC

Zadanie 34
(2 pkt)

Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych { 1,2,3,4,5,6,7} losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba 5.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania