/Szkoła średnia

Zadanie nr 9665554

Suma długości wszystkich wysokości trójkąta ABC jest 9 razy większa od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Udowodnij, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt.

PIC

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, tzn. niech ha,hb,hc będą wysokościami opuszczonymi odpowiednio na boki o długościach: a,b,c . Mamy zatem

2S = aha = bhb = chc.

Ponadto, jeżeli przez r oznaczymy promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC , to

a-+-b-+-c ---2S---- S = pr = 2 ⋅r ⇒ r = a + b + c.

Mamy zatem

ha + hb + hc = 9r 2S-+ 2S-+ 2S-= 9 ⋅----2S--- / : 2S a b c a + b + c bc-+-ac-+-ab- ----9---- abc = a+ b+ c 9abc = (bc + ac + ab)(a + b + c) 9abc = abc + a 2c + a2b + b2c + abc + ab2 + bc2 + ac2 + abc 2 2 2 2 2 2 0 = (a c − 2abc + b c) + (a b − 2abc + bc ) + (ab − 2abc + ac ) 2 2 2 0 = c(a − b) + b(a − c) + a(b− c) .

Ponieważ liczby a,b,c są dodatnie, otrzymana równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

a = b = c,

czyli gdy trójkąt ABC jest równoboczny.

Wersja PDF