/Szkoła średnia

Zadanie nr 9671439

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na bokach AB i AC trójkąta ABC , który nie jest równoramienny, wybrano takie punkty D i E , że |AD | : |DB | = 1 : k oraz |AE | : |EC | = k : 1 , dla k ∈ (0,+ ∞ ) .

PIC

  • Wyznacz wzór funkcji f (k) , która jest zdefiniowana jako stosunek pól trójkątów ADE i ABC .
  • Wiedząc że |AB| |AC| = m , dla m ∈ (0,1 ) wyznacz wszystkie wartości parametru k , dla których trójkąty ADE i ABC są podobne.

Rozwiązanie

  •  

    Sposób I

    Jeżeli dorysujemy wysokości opuszczone z punktów C i E na bok AB ,

    PIC

    to z podobieństwa trójkątów AKE i ALC mamy

    EK AE k k ----= ---- = ------ ⇒ EK = ------⋅CL . CL AC k + 1 k + 1

    Ponadto z założenia

    AD 1 1 AB-- = k+-1-- ⇒ AD = k-+-1AB .

    Możemy więc wyliczyć pole trójkąta ADE w zależności od pole trójkąta ABC .

    2P = AD ⋅EK = --1--AB ⋅ --k--⋅CL = ---k----⋅ 2P . AED k + 1 k+ 1 (k+ 1)2 ABC

    Zatem

    f (k) = 2PAED--= ----k---. 2PABC (k + 1)2

    Sposób II

    Szukany stosunek pól można też łatwo wyliczyć ze wzoru na pole z sinusem.

    --1-AB ⋅-k-AC f(k) = 2PAED--= AD--⋅AE--sinα-= k+-1-----k+1---- = ----k---. 2PABC AB ⋅AC sin α AB ⋅AC (k + 1)2

     
    Odpowiedź: --k--- f(k) = (k+ 1)2

  • Ponieważ trójkąt ABC nie jest równoramienny oraz ma on wspólny kąt ∡A z trójkątem ADE , mamy dokładnie dwie możliwości: albo ∡AED = ∡ACB albo ∡AED = ∡ABC .

    W pierwszej sytuacji proste ED i CB są równoległe co oznacza, że

    AE-- AD-- EC = DB k 1 --= -- ⇐ ⇒ k = 1. 1 k

    W drugiej sytuacji, z podobieństwa trójkątów ABC i AED mamy

    AE AD AB--= AC-- --k- -1-- k+-1AC- k+1AB-- AB = AC ( ) 2 k = AB-- = m 2. AC

     
    Odpowiedź: k = 1 lub 2 k = m

Wersja PDF