/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 4 czerwca 2019 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Parametr m dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania

2 2 (4 − m )⋅ x = m − 3m + 2

z niewiadomą x . Wynika stąd, że
A) m = − 2 B) m = 1 C) m = 2 D) m = 4

Zadanie 2
(1 pkt)

Dane są trzy niewspółliniowe punkty: A = (1,1) , B = (6 ,3 ) , C = (4,5) . Ile jest wszystkich punktów D takich, że czworokąt o wierzchołkach w punktach A ,B ,C ,D jest równoległobokiem?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Zadanie 3
(1 pkt)

Wiadomo, że wielomian 5 4 3 2 15x − 133x + 38 3x − 499x + 146x + 120 ma w zbiorze { } 76, 65, 87, 95 dokładnie jeden pierwiastek wymierny. Jest nim liczba

A) 6 5 B) 7 6 C) 8 7 D) 95

Zadanie 4
(1 pkt)

Nieskończony ciąg geometryczny (an) jest określony w następujący sposób: 3 a1 = 5 oraz an+ 1 = 2 ⋅an 3 dla n ≥ 1 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
A) 5 3 B) 10 9 C) -9 10 D) 95

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

W urnie znajduje się 16 kul, które mogą się różnić wyłącznie kolorem. Wśród nich jest 10 kul białych i 6 kul czarnych. Z tej urny losujemy dwukrotnie jedną kulę bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych.

Zadanie 6
(3 pkt)

Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy 28.

Zadanie 7
(2 pkt)

Dana jest funkcja f określona wzorem 25x2−-9 f(x) = x2+ 2 dla każdej liczby rzeczywistej x . Oblicz wartość f′(10) pochodnej tej funkcji dla argumentu 10.

Zadanie 8
(3 pkt)

Dwusieczne kątów BAD i BCD czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E , przy czym punkty B i E leżą po przeciwnych stronach prostej AC (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |∡ABC |− |∡ADC |+ 2 ⋅|∡AEC | = 3 60∘ .

Zadanie 9
(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie n5 − 3n4 − n + 19 jest podzielne przez 16.

Zadanie 10
(4 pkt)

Miara kąta wewnętrznego n –kąta foremnego jest o 2∘ mniejsza od miary kąta wewnętrznego (n + 2) – kąta foremnego. Oblicz n .

Zadanie 11
(6 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 6. Na krawędziach bocznych BS i CS wybrano punkty, odpowiednio D i E , takie że |BD | = |CE | oraz |DE | = 4 (zobacz rysunek). Płaszczyzna ADE jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej BCS ostrosłupa.

PIC

Zadanie 12
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 2 4x + (2− 4m )x+ m − m − 2 = 0

ma dwa różne dodatnie rozwiązania x1,x2 spełniające nierówność x12+ x 22 ≤ 147 .

Zadanie 13
(6 pkt)

Punkt A = (− 2,6 ) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 90. Przekątna BD zawiera się w prostej l o równaniu 2x − y − 5 = 0 . Wyznacz długość boku tego rombu.

Zadanie 14
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 4 sin 7x cos 2x = 2 sin 9x − 1 w przedziale ⟨0,π⟩ .

Zadanie 15
(7 pkt)

Dany jest okrąg o środku S i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku S1 i promieniu x oraz drugi o środku S2 i promieniu 2x , o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:
– rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
– obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku S i promieniu 18;
– punkty: S ,S1,S2 nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach a ,b,c można obliczyć ze wzoru Herona

∘ ----------------------- P = p(p − a)(p − b )(p − c),

gdzie p – jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta SS 1S2 jako funkcję zmiennej x . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania