/Szkoła średnia

Zadanie nr 9725386

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapezie ABCD , w którym AB ∥ CD , dane są wierzchołki A = (1,1),B = (2,4) oraz punkt przecięcia przekątnych S = (− 1,3) . Pole trapezu jest równe 36.

  • Oblicz długość podstawy CD .
  • Wyznacz współrzędne wierzchołków C i D .

Rozwiązanie

Szkicujemy trapez – rysunek może być bardzo schematyczny, tak naprawdę nawet nie trzeba rysować układu współrzędnych.

PIC

Kluczowe w tym zadaniu jest podobieństwo trójkątów ABS i CDS (trójkąty te mają równe kąty).

  • Oznaczmy skalę podobieństwa trójkątów CDS i ABS przez k . W szczególności CD = k ⋅AB oraz h2 = kh1 , gdzie h 1 i h2 są wysokościami tych trójkątów opuszczonymi z wierzchołka S . Zauważmy, że AB i h 1 możemy dość łatwo obliczyć.
    ∘ ------------------- --- AB = (2− 1 )2 + (4 − 1)2 = √ 10.

    Aby obliczyć odległość punktu S od prostej AB najpierw napiszmy równanie prostej AB . Szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów A i B .

    { 1 = a + b 4 = 2a + b.

    Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy a = 3 . Stad b = 1 − a = − 2 . Zatem prosta AB ma równanie y − 3x + 2 = 0 . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x 0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

    |Ax-0 +-By0-+-C-| √A--2-+-B2- .

    W naszej sytuacji mamy

    h1 = |3√+-3-+-2|-= √8--. 1 + 9 10

    Teraz łatwo już wykorzystać informację o polu trapezu – otrzymujemy równanie z niewiadomą k .

    36 = AB-+--CD--⋅(h + h ) 2 1 2 √ 10+ k√ 10- ( 8 8k ) 36 = -------------⋅ √----+ √---- / : 4 2 10 10 9 = (1 + k)(1 + k) k + 1 = 3 ⇒ k = 2.

    W takim razie √ --- CD = 2AB = 2 10 .  
    Odpowiedź: √ --- CD = 2 10

  • Wiemy już, że skala podobieństwa trójkątów CDS i ABS jest równa 2. Oznacza to, że SC = 2SA i SD = 2SB . To pozwala łatwo wyznaczyć współrzędne punktów C = (x ,y ) C C i D = (x ,y ) D D .
    − → −→ −→ −→ SC = 2AS SD = 2 BS [xC + 1 ,yC − 3] = 2[− 1− 1,3− 1] [xD + 1,yD − 3] = 2[− 1− 2,3− 4] [xC + 1 ,yC − 3] = [− 4,4] [xD + 1,yD − 3] = [− 6,− 2] C = (− 5,7) D = (− 7,1).

     
    Odpowiedź: C = (− 5,7),D = (− 7,1)

Wersja PDF