Zadanie nr 9753089

Punkty K , L , M są środkami boków BC ,CA i trójkąta ABC . Wykaż, że

− → − → −→ → AK + BL + CM = 0.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Spróbujemy wyznaczyć wektory −→ − → −→ AK ,BL ,CM w zależności od wektorów utworzonych z boków trójkąta.

Sposób I

Oznaczmy −→ → AB = a oraz −→ → AC = b . Mamy wtedy

−→ −→ −→ → 1 → CM = CA + AM = − b + --a 2 −→ −→ −→ → 1→ BL = BA + AL = − a + 2 b − → −→ −→ → 1 −→ → 1 −→ −→ AK = AC + CK = b + --CB = b + -(CA + AB ) = 2 2 → 1- → → 1→ 1→ = b + 2(− b + a) = 2 a + 2 b.

Mamy zatem

→ → → A−K→ + −B→L + C−M→ = − b + 1-→a − →a + 1-b + 1-→a + 1-b = 0. 2 2 2 2

Sposób II

Liczymy

−→ − → −→ −→ 1 −→ CM = CA + AM = CA + --AB −→ −→ −→ −→ 2−→ BL = BC + CL = BC + 1-CA 2 −→ −→ −→ −→ 1−→ AK = AB + BK = AB + -BC . 2

Mamy zatem

−→ −→ −→ −→ 1-−→ −→ 1-−→ −→ 1− → AK + BL + CM = CA + 2 AB + BC + 2CA + AB + 2BC = −→ −→ −→ −→ = 3-(AB + BC + CA ) = 3-AA = 0. 2 2

Sposób III

Umieśćmy trójkąt ABC w układzie współrzędnych tak, aby A = (0,0),B = (2b,0),C = (2c1,2c2) .

Mamy wtedy

B + C K = ---2-- = (b+ c1,c2) L = A--+-C-= (c1,c2) 2 A-+--B- M = 2 = (b,0).

Zatem

A−K→ + −B→L + C−M→ = [b + c ,c ]+ [c − 2b,c ]+ [b − 2c ,− 2c ] = [0,0]. 1 2 1 2 1 2

Sposób IV

Liczymy utożsamiając działania na punktach z działaniami na wektorach.

−→ −→ −→ AK + BL + CM = K − A + L − B + M − C = B + C A + C A + B = ------ − A + -------− B + ------− C = 0 . 2 2 2