/Szkoła średnia

Zadanie nr 9766220

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wielomian 4 3 2 W (x) = x + ax + ax + bx − 5 jest podzielny przez wielomian x 2 − 1 . Wynika stąd, że
A) a + b = 0 B) a = b C) a + 2b = 4 D) b = 2a

Rozwiązanie

Ponieważ 2 x − 1 = (x − 1)(x + 1) , wystarczy sprawdzić, kiedy wielomian W (x) jest podzielny przez (x − 1 ) i (x + 1) .

Wielomian W (x ) jest podzielny przez dwumian (x− a) wtedy i tylko wtedy, gdy W (a) = 0 (aby się o tym przekonać wystarczy podstawić x = a w równości W (x) = Q (x)(x − a) + R (x) ).

W naszej sytuacji mamy więc

{ 0 = W (1) = 1+ a + a + b − 5 ⇐ ⇒ 2a+ b = 4 0 = W (− 1) = 1 − a + a − b − 5 ⇐ ⇒ b = − 4.

Z pierwszego równania mamy więc 2a = 4 − b = 8 , czyli a = 4 . Stąd a + b = 0 .  
Odpowiedź: A

Wersja PDF