/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 7 marca 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba 6 √34+√32 jest równa
A) √ --- √ -- 2 31 2− 2 + 34 B) √ --- √ -- 3 12 − 2 + 34 C) √3-- √3-- 2 2 − 2 + 4 D) 3√ -- 3√ -- 2− 2+ 4

Zadanie 2
(1 pkt)

Okrąg o równaniu 2 2 (x + 3) + (y − 4) = 1 6 ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu
A) x = 0 B) y = 0 C) y = −x − 5 D) y = x

Zadanie 3
(1 pkt)

Jeżeli 2a = 3 , 3b = 5 i 5c = 2 , to iloczyn abc jest równy
A) log 5 2 B) log 2 5 C) 1 D) 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Największa wartość funkcji f(x) = sin x + cosx to
A) 1 B) √-2 2 C) √ -- 2 D) 2

Zadanie 5
(1 pkt)

Dane są dwie urny z kulami, w każdej jest 5 kul. W pierwszej urnie są dwie kule białe i 3 kule czarne. W drugiej urnie są 3 kule białe i 2 kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, natomiast jeśli wypadną co najmniej trzy oczka, to losujemy jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
A) 185 B) 25 C) 175 D) 3 5

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Oblicz granicę ciągu 2 lim -2n-+3n−4-- n→+ ∞ (3n−2)(n+ 3) .

Zadanie 7
(2 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = −x 3 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równania prostych stycznych do wykresu funkcji f , które są równoległe do prostej y = − 3x− 5 .

Zadanie 8
(2 pkt)

Na płaszczyźnie dany jest nieskończony ciąg (Tn ) , dla n ≥ 1 , równoramiennych trójkątów prostokątnych. Pole trójkąta Tn+ 2 jest dwa razy mniejsze od pola trójkąta Tn dla n ≥ 1 . Uzasadnij, że suma pól trójkątów T1 i T 2 jest równa sumie pól wszystkich pozostałych trójkątów.

Zadanie 9
(2 pkt)

Wykres funkcji ( ) 1 x f (x) = 5 przesunięto najpierw o wektor → v 1 = [2,− 6] , potem o wektor →v 2 = [− 3,7] , a na koniec o wektor →v3 . W wyniku tej operacji otrzymano wykres funkcji 4−x g (x) = 5 − 3 . Wyznacz współrzędne wektora → v3 .

Zadanie 10
(3 pkt)

Oblicz sumę szóstych potęg pierwiastków równania x2 + x− 1 = 0 .

Zadanie 11
(3 pkt)

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 10, a cosinus jednego z jego kątów jest równy − 419 . Oblicz pole tego trójkąta.

Zadanie 12
(3 pkt)

Dwusieczne kątów wewnętrznych trapezu ABCD przecinają się w punktach K,L ,M ,N (patrz rysunek). Wykaż, że |MN |2 − |KL |2 = |ML |2 − |KN |2 .

PIC

Zadanie 13
(3 pkt)

Funkcje f i g są określone wzorami: 8 4 f (x) = 4x-+x94+x2+1 i 8 4 g (x) = 4x-+x84+x2−1 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wykaż, że f′(x) = g′(x) .

Zadanie 14
(4 pkt)

Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu (x + 5)2 + (y − 3)2 = 25 równoległych do prostej o równaniu 3x + 4y − 12 = 0 .

Zadanie 15
(4 pkt)

Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x spełniona jest nierówność

1- 4 1- 3 2 4x + 3 x > 3x − 1 6.

Zadanie 16
(5 pkt)

Wykaż, że π 2π 4π 1 cos-9 co s-9-cos 9-= 8 .

Zadanie 17
(5 pkt)

Środki ścian czworościanu foremnego T1 są wierzchołkami czworościanu T2 . Oblicz stosunek objętości czworościanów T1 i T2 .

Zadanie 18
(7 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej dwie „dwójki”, pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „piątkę”.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania