/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 25 kwietnia 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony wzorem an = -√2-n ( 3) dla n = 1,2,3,... . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
A) √-1-- 3−1 B) √- √-3-- 3−1 C) --2-- √ 3−1 D) --3-- √ 3−1

Zadanie 2
(1 pkt)

Ile miejsc zerowych ma funkcja f (x) = |x+3|− |x+-2| x+3 x+ 2 określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x takich, że x ⁄= − 3 i x ⁄= − 2 ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) więcej niż 2

Zadanie 3
(1 pkt)

Jacek i Karol rzucają śnieżkami do celu. Jacek trafia do celu średnio trzy razy na dziesięć rzutów, a Karol trafia do celu średnio raz na pięć rzutów. Prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony dokładnie raz, jeżeli każdy z chłopców wykona po jednym rzucie jest równe
A) 0,06 B) 0,38 C) 0,56 D) 0,5

Zadanie 4
(1 pkt)

Okrąg o równaniu x 2 + 6x + y 2 − y + 9 = 0 przekształcono w jednokładności o środku (0,0) i skali − 2 . Otrzymany okrąg ma równanie
A) 2 2 x − 12x + y + 2y + 36 = 0
B) 2 2 x + 12x + y − 2y + 36 = 0
C) x2 − 12x + y 2 + 2y + 1474-= 0
D) x2 − 6x + y2 + y + 33 = 0 4

Zadanie 5
(1 pkt)

Liczba ∘ --------- ∘ --------- 7− 4√ 3+ 7 + 4√ 3 jest równa
A) 16 B) √ --- 1 4 C) 4 D) √ -- 8 3

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Uzasadnij, że 5log711 = 11log7 5 .

Zadanie 7
(2 pkt)

Dane są liczby a,b takie, że a + b = 6 i ab = 5 . Oblicz 3 3 a b + ab .

Zadanie 8
(2 pkt)

Na poniższym wykresie przedstawiono wykres pochodnej ′ f (x) funkcji kwadratowej f(x ) . Wykaż, że f (5) < f(2) .

PIC

Zadanie 9
(2 pkt)

Oblicz granicę √ -------- nl→im+ ∞( n 2 + 4n − n) .

Zadanie 10
(3 pkt)

Wykaż, że cos14 0∘ + cos100 ∘ + co s20∘ = 0 .

Zadanie 11
(3 pkt)

W trójkącie ABC dane są: cos∡A = − 187 , cos ∡B = 45 i |AB | = 24 . Oblicz długości pozostałych boków trójkąta ABC .

Zadanie 12
(3 pkt)

Dany jest ciąg (an ) określony rekurencyjnie

( |{ a1 = 14 |( a2 = 2 an+2 = 14an dla n ≥ 1

Oblicz sumę 18 początkowych wyrazów ciągu (an ) .

Zadanie 13
(3 pkt)

Uzasadnij, że wielomian W (x) = x5 + 4x 4 + 3x 3 + 2x2 + x+ 3120 = 0 nie ma pierwiastków wymiernych.

Zadanie 14
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których prosta y = mx + m jest styczna do wykresu funkcji y = 13 x .

Zadanie 15
(3 pkt)

Rzucamy raz sześcienną kostką do gry, a następnie rzucamy tyloma monetami, ile oczek wypadło na kostce. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dokładnie na jednej z wyrzuconych monet jest reszka. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 16
(5 pkt)

Wyznacz wartość parametru m , dla której pole koła stycznego do prostych zawierających boki AB i CD równoległoboku ABCD o wierzchołkach A = (5,− 4) , B = (2,− 8) , C = (m 3 + 15m ,m 4 + 10m 2) jest najmniejsze możliwe. Oblicz to pole.

Zadanie 17
(6 pkt)

Wykaż, że jeżeli promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym jest dwa razy dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt ten jest równoboczny.

Zadanie 18
(7 pkt)

W kulę o promieniu długości R wpisano stożek o maksymalnej objętości. Oblicz objętość tego stożka.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania