/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 6 kwietnia 2019 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Niech √ -- √ -- √ -- L = lo g√ - 33 ⋅lo g√- 3 5⋅ log √- 3 2 2 3 5 . Wtedy
A) L = 1 B) 8- L = 27 C) L = 32 D) L = 94

Zadanie 2
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f(x) = − a+x+x3- .

PIC

Liczba a może być równa
A) a = 3 B) a = 4 C) a = −5 D) a = 6

Zadanie 3
(1 pkt)

Jeżeli α jest takim kątem rozwartym, że sin α = 3 5 , to liczba ( ) sin π-− α 4 jest równa
A) −-7√2 10 B) 7√-2- 10 C) √ - --2 10 D) √ - −--2 10

Zadanie 4
(1 pkt)

Granica lim− x2−x−7x2+10- x→5 jest równa
A) − ∞ B) − 1 C) 0 D) + ∞

Zadanie 5
(1 pkt)

Funkcja { a|3− x| gdy x ∈ (− ∞ ,− 2 ) f (x) = 1 3 ( 1)x 2x + a ⋅ 3 gdy x ∈ ⟨− 2,+ ∞ ) jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych jeżeli a jest równe
A) 1 B) − 1 C) 2 7 D) − 2

Zadanie 6
(2 pkt)

Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji x2-- f(x) = − x+1 , określonej dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 1 , poprowadzonej w punkcie ( ) A = − 7, 49 6 tego wykresu.

Zadanie 7
(3 pkt)

W kwadrat K 1 o boku a wpisujemy kwadrat K2 , którego wierzchołki są środkami boków kwadratu K 1 , następnie w kwadrat K 2 wpisujemy kwadrat K 3 , którego wierzchołki są środkami boków K2 i tak dalej. Oblicz sumę pól otrzymanego w ten sposób nieskończonego ciągu kwadratów.

Zadanie 8
(2 pkt)

Na okręgu wybrano 50 punktów. Ile jest różnych czworokątów o wierzchołkach w tych punktach?

Zadanie 9
(3 pkt)

Dane są liczby całkowite a i b . Wykaż, że jeżeli liczba a3 jest podzielna przez a + b , to liczba b3 też jest podzielna a+ b .

Zadanie 10
(3 pkt)

Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru a równanie

x 3 − 6ax 2 + 12a2x + x − 18 = 0

ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Zadanie 11
(3 pkt)

Ciąg (an) jest określony dla n ≥ 1 i spełnia warunki

{ a1 = 2 0 --56(n+-1)an-- an+ 1 = 1+2+ 3+...+ 48 dla n ≥ 1

Oblicz granicę

( ) lim a + a2+ a3-+ ⋅⋅⋅+ an- . n→ +∞ 1 2! 3! n!

Zadanie 12
(4 pkt)

Rzucamy dziesięciokrotnie monetą. Wśród otrzymanych wyników dokładnie sześć razy otrzymaliśmy orła. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w każdym z dwóch pierwszych rzutów otrzymaliśmy reszkę?

Zadanie 13
(4 pkt)

Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie S . Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABS jest o 1 większy od promienia okręgu opisanego na trójkącie CDS , a długości podstaw trapezu spełniają warunek |AB | = |CD | + 1 . Wykaż, że

2 2 2 √ -- |AS | + |BS | = |AB | + 3⋅|AS |⋅ |BS |.

Zadanie 14
(4 pkt)

Rozwiąż równanie sin 6x − 1 = c os3x − 2 sin 3x w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Zadanie 15
(5 pkt)

Wierzchołki A i B trójkąta prostokątnego ABC leżą na prostej y = − 4 . Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków AB , BC i CA odpowiednio w punktach P = (6,− 4) , Q = (2,4 ) i R = (9,5) . Oblicz współrzędne wierzchołków A , B i C tego trójkąta.

Zadanie 16
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o kącie ostrym α i przeciwprostokątnej długości a . Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem β . Wykaż, że pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe a2sin2α(cosβ+-1) 4cosβ .

Zadanie 17
(7 pkt)

Rozważamy zbiór wszystkich trapezów równoramiennych, których krótsza podstawa i ramiona mają długość 6. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby jego pole było największe. Oblicz to pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania