/Szkoła średnia

Zadanie nr 9829405

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty A ,B ,C i D leżą na okręgu o środku S . Miary kątów SBC , BCD , CDA są równe odpowiednio: |∡SBC | = 60∘ , |∡BCD | = 110∘ , |∡CDA | = 90∘ (zobacz rysunek).

PIC

Wynika stąd, że miara α kąta DAS jest równa
A) 25∘ B) 3 0∘ C) 35∘ D) 40∘

Rozwiązanie

Trójkąt BCS jest równoramienny (bo SB = SC ) i jeden z jego kątów ma miarę 60 ∘ , więc jest to trójkąt równoboczny.

PIC

Zatem

∡DCS = 110∘ − 60 ∘ = 50∘.

Sposób I

Wiemy, że trójkąt ADC jest prostokątny, więc jego przeciwprostokątna AC jest średnicą danego okręgu. W szczególności punkty A ,S i C leżą na jednej prostej. Stąd

α = ∡DAS = ∡DAC = 90∘ − ∡DCA = 90∘ − 50 ∘ = 40∘.

Sposób II

Dorysujmy jeszcze promień SD .

PIC

Każdy z trójkątów CDS i DAS jest równoramienny, więc

∡CDS = ∡DCS = 50∘ α = ∡DAS = ∡ADS = 90∘ − ∡CDS = 90∘ − 50∘ = 4 0∘.

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF