/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 11 marca 2017 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dla każdej dodatniej liczby a iloraz -a2,6 a−1,3 jest równy
A) 1,3 a B) 2 a C) −1,3 a D) a3,9

Zadanie 2
(1 pkt)

W prostopadłościanie o objętości 3400 skrócono o 10% najkrótsze krawędzie, a następnie wydłużono najdłuższe krawędzie tak, aby otrzymany prostopadłościan miał objętość 3519. O ile procent wydłużono najdłuższe krawędzie prostopadłościanu?
A) 18% B) 12% C) 15% D) 20%

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba dwa razy mniejsza od liczby log 316 jest równa
A) lo g38 B) log3 4 C) log 32 D) log 3 1 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Różnica 25 0022 − 24998 2 jest równa
A) 2 000 000 B) 16 C) 200 000 D) 20 000

Zadanie 5
(1 pkt)

Jedną z liczb, które nie spełniają nierówność − x7 + x4 − x3 > −8 , jest
A) − 12 B) − 7 C) 20 D) − 2

Zadanie 6
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x) = (x + 1)(x + 9 ) . Wynika stąd, że funkcja f jest malejąca w przedziale
A) ⟨− 5,+ ∞ ) B) (− ∞ ,− 5⟩ C) (− ∞ ,+ 5⟩ D) ⟨+ 5,+ ∞ )

Zadanie 7
(1 pkt)

Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność x6 + log7 2 < 0 jest
A) − 64 B) − 1 C) − 2 D) − 3

Zadanie 8
(1 pkt)

Na rysunku przedstawione są wykresy funkcji y = f(x) oraz y = g (x ) .

PIC

Wówczas :
A) g(x ) = f(x − 3) − 4
B) g(x) = f (x+ 3)− 4
C) g(x) = f(x − 4) − 3
D) g(x ) = f(x + 4) − 3

Zadanie 9
(1 pkt)

Równanie wymierne 4x−-3 2x+ 2 = 2 , gdzie x ⁄= − 1 ,
A) ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
B) ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
C) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
D) nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Zadanie 10
(1 pkt)

Funkcja f określona jest wzorem 3√4x+1 f(x ) = 3√-2x2+-1 . Wtedy liczba f(− 2) jest równa
A) − 1 3 B) 1 3 C) 0 D) − 3

Zadanie 11
(1 pkt)

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej n suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest określona wzorem Sn = 2n 2 + 2n . Wtedy wyraz a2 jest równy
A) 4 B) 8 C) 12 D) 24

Zadanie 12
(1 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α i β , w którym √-6 sin α = 3 . Wtedy
A) √- c osα = -32- B) √ - cos β = -36 C) √-3 tg α = 3 D) √-6 tgβ = 2

Zadanie 13
(1 pkt)

Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych (m + 1,2m + 5) , gdzie m jest dowolną liczbą rzeczywistą?
A) y = 2x+ 3 B) y = 2x + 4 C) y = 2x + 5 D) y = 2x+ 6

Zadanie 14
(1 pkt)

Dziewiąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy 1 4 , a iloraz tego ciągu jest równy − 1 2 . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy
A) 16 B) − 8 C) − 16 D) 8

Zadanie 15
(1 pkt)

Punkty A ,B ,C ,D leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta α jest równa

PIC

A) 54,5∘ B) 31∘ C) 34 ∘ D) 27∘

Zadanie 16
(1 pkt)

Dany jest walec, w którym promień podstawy jest równy r , a wysokość walca jest od tego promienia o dwa większa. Objętość tego walca jest równa
A) 3 2πr B) 3 4πr C) 2 πr (r+ 2) D) 2 πr (r − 2)

Zadanie 17
(1 pkt)

Punkty A = (− 1,1) i C = (5,− 1) są wierzchołkami rombu ABCD , a prosta określona równaniem y = mx − 6 zawiera przekątną BD tego rombu. Wynika stąd, że
A) m = − 1 3 B) m = 1 3 C) m = − 3 D) m = 3

Zadanie 18
(1 pkt)

Z odcinków o długościach: 7,a− 1,2a+ 3 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że
A) a = 8 B) a = 3 C) a = 2 D) a = 6

Zadanie 19
(1 pkt)

Przekątne trapezu ABCD , w którym AB ∥ CD przecinają się w punkcie P w ten sposób, że |AP | = 9,|CP | = 3,|DP | = 2,|BP | = 6 oraz ∘ |∡AP B | = 150 . Pole tego trapezu jest równe
A) 32 B) 24 C) 18 D) 16

Zadanie 20
(1 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD . Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta ACS jest równa
A) ∘ 45 B) ∘ 3 0 C) ∘ 75 D) 90∘

Zadanie 21
(1 pkt)

Liczb ze zbioru Z = {1,2 ,3,...,36} , których nie można uzyskać jako iloczynu dwóch niekoniecznie różnych liczb ze zbioru {1,2,3,...,6} , jest
A) 8 B) 16 C) 18 D) 19

Zadanie 22
(1 pkt)

Rzucamy dziewięć razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania co najwyżej 8 orłów w tych dziewięciu rzutach. Wtedy
A) 0 ≤ p < 0,88 B) 0,88 ≤ p ≤ 0 ,96 C) 0,96 < p ≤ 0,99 D) 0,99 < p ≤ 1

Zadanie 23
(1 pkt)

Punkt K = (− 4,− 6) jest końcem odcinka KL , punkt L leży na osi Ox , a środek S tego odcinka leży na osi Oy . Wynika stąd, że
A) S = (0,3) B) S = (− 6 ,0 ) C) S = (4 ,0) D) S = (0,− 3)

Zadanie 24
(1 pkt)

Dane są dwie sumy algebraiczne 3 2x − 3x oraz 2 − 2x − 3 . Iloczyn tych sum jest równy
A) − 4x6 + 9x B) − 4x 6 + 6x3 − 6x2 + 9x C) − x5 + 6x3 − 6x2 + 9x D) 5 − 4x + 9x

Zadania otwarte

Zadanie 25
(2 pkt)

W tabeli przedstawiono miesięczne sumy opadów w Terespolu w ciągu sześciu kolejnych miesięcy.

Kolejne miesiące 1 2 3 4 5 6
Suma opadów (w mm)343236315265

Oblicz średnią miesięczną wysokość opadów w Terespolu w badanym okresie sześciu miesięcy. Otrzymany wynik zaokrąglij z dokładnością do 1 mm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż równanie 3x+3x-1= 3xx++11- , gdzie x ⁄= − 1 i x ⁄= 0 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Suma długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa 7. Jaka jest najmniejsza możliwa długość przeciwprostokątnej tego trójkąta?

Zadanie 28
(2 pkt)

Ze zbioru ośmiu liczb naturalnych {1 ,2 ,3,4,5,6,7,8} losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że mniejszą z wylosowanych liczb będzie liczba 3.

Zadanie 29
(2 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem a = n(n+-1)(2n+1)- n 6 dla n ≥ 1 . Wykaż, że każdy kolejny wyraz tego ciągu jest większy od poprzedniego wyrazu o kwadrat liczby naturalnej.

Zadanie 30
(2 pkt)

Średnica AB i cięciwa CD okręgu o środku O i promieniu r przecinają się w punkcie E takim, że |DE | = r . Wykaż, że |∡AOC | = 3|∡AEC | .

PIC

Zadanie 31
(5 pkt)

Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na kwadracie, którego jeden z boków jest zawarty w prostej o równaniu y = 2x − 2 , a punkt A = (1,5) jest jego wierzchołkiem. Rozważ wszystkie przypadki.

Zadanie 32
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 8. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą krawędź boczna i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Zadanie 33
(4 pkt)

Pociąg pokonuje każdorazowo trasę pomiędzy Katowicami i Łodzią z taką samą zakładaną średnią prędkością. Pewnego dnia pociąg pokonał tę trasę w czasie o 10% krótszym od zakładanego, a następnego dnia w czasie o 15% dłuższym od zakładanego. Różnica prędkości średnich w tych dwóch dniach wyniosła 25 km/h. Ile wynosi zakładana średnia prędkość z jaką pociąg towarowy pokonuje trasę między Katowicami a Łodzią?

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania