/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 15 kwietnia 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(2 pkt)

Ciąg (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 wzorem

(5p + 3)n3 + 7pn − 4 an = ----------3----2-----, (p − 2)n − n + p

gdzie jest liczbą rzeczywistą. Oblicz wartość , dla której granica ciągu (an) jest równa 3 4 .

Zadanie 2

(2 pkt)

W ﬁrmie zatrudniającej 390 pracowników sporządzono zestawienie wszystkich pracowników w wieku przedemerytalnym i okazało się, że wśród nich jest 96 mężczyzn i 45 kobiet. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany mężczyzna pracujący w tej ﬁrmie jest w wieku przedemerytalnym jest równe 0,4. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej ﬁrmy jest w wieku przedemerytalnym – pod warunkiem, że jest to kobieta.

Zadanie 3

(3 pkt)

Funkcja jest określona wzorem ∘3 -√--- f(x ) = 2x − 3 x x dla każdej liczby rzeczywistej x > 0 . Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie x 0 = 4 .

Zadanie 4

(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej oraz dla każdej liczby rzeczywistej , spełniających warunek x + y ≥ − 2 , prawdziwa jest nierówność

2 2 x (x+ 2)+ y (y + 2) ≥ xy (x+ y+ 4).

Zadanie 5

(3 pkt)

Iloczyn wszystkich wyrazów ciągu danego wzorem

(log x)n an = 3 8 , gdzie n ≥ 1,

jest równy log 27 4 8 . Oblicz .

Zadanie 6

(4 pkt)

W trójkącie ABC na boku wybrano takie punkty ′ A i ′ B , że

1 |AA ′| = |BB ′| < --|AB |. 2

Przez punkty ′ A i ′ B poprowadzono proste równoległe do boków odpowiednio i . Proste te przecięły się w punkcie . Wykaż, że odcinek jest zawarty w środkowej trójkąta ABC .

Zadanie 7

(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 ( 3π) 2 2 cos2x + 7cos x− 2 = 2+ sin 2x w przedziale [0 ,2π] .

Informacja do zadań 8.1 i 8.2

W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz , które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).

Funkcje oraz są określone wzorami 1( 3)2 f(x) = 2 x − 2 − 3 oraz 2 g (x ) = 14 (x− 1) + 1 . Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją w punkcie o współrzędnych P = (3 ,2 ) .

Zadanie 8.1

(2 pkt)

Niech będzie punktem leżącym na wykresie . Wykaż, że odległość punktu od punktu wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- |PR | = 1x 4 − 3x3 − 5-x2 + 45x + 1537-, 4 2 8 8 64

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Zadanie 8.2

(6 pkt)

Koniec pomostu należy umieścić na brzegu opisanym funkcją . Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec pomostu, aby jego długość (tj. odległość końca pomostu od początku ) była możliwie najmniejsza. Oblicz długość najkrótszego pomostu.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1- 4 3-3 5- 2 45- 1537- |PR | = 4x − 2x − 8 x + 8 x + 64 ,

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Zadanie 9

(6 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS o podstawie ABC i polu powierzchni bocznej równym . Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka ma miarę 2 α . Objętość tego ostrosłupa jest równa ∘ ----------(-----------)- k⋅P 3sin α 3 − 4 sin 2α , gdzie jest stałym współczynnikiem liczbowym. Oblicz współczynnik .

Zadanie 10

(5 pkt)

Rozwiąż nierówność

1 1 2 --2----− ------≥ -----+ 4x. x − 4 2− x 2+ x

Zadanie 11

(5 pkt)

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y = −x + 3b , y = −x − 2b , y = b , y = 4 , gdzie liczba rzeczywista spełnia warunki: b ⁄= 4 i b ⁄= 0 . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których pole tego równoległoboku jest równe 20.