Zadanie nr 9873135

W półkole o promieniu wpisano trapez równoramienny o krótszej podstawie długości . Oblicz długość przekątnej trapezu.

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy najpierw, że trójkąt ABC jest prostokątny – tak jest, bo kąt ACB jest oparty na średnicy.

Dorysujmy wysokości i trapezu. Otrzymaliśmy w ten sposób jeszcze jeden trójkąt prostokątny AF C , który jest podobny do trójkąta ACB (bo oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku ). Z tego podobieństwa mamy

AF AC ----= ---- AC AB ( ) AC 2 = AF ⋅AB = (AE + EF )⋅2r = 2r−-a-+ a ⋅2r 2 ( ) = 2r-+-a ⋅2r = 2r2 + ar 2 ∘ --2----- AC = 2r + ar.

Sposób II

Tym razem skorzystamy z faktu, że wysokość w trójkącie prostokątnym jest średnią geometryczną długości odcinków, na jakie dzieli przeciwprostokątną. Na naszym obrazku oznacza to, że