/Szkoła średnia

Zadanie nr 9902082

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest trójkąt ABC , w którym |AC | > |BC | . Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty D i E , że AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli |∡BAC | = |∡ABC |− 2|∡AF D | , to |CD | = |CE | .

PIC

Rozwiązanie

Oznaczmy ∡AF D = α i ∡ABC = β .

PIC

Z założenia ∡BAC = β− 2α , więc w trójkącie ABC mamy

∡ACB = 180∘− ∡BAC − ∡ABC = 180∘ − (β− 2α)− β = 180 ∘− 2(β − α ).

Teraz patrzymy na trójkąt AF D .

∘ ∘ ∘ ∡ADF = 180 − ∡DAF − ∡DFA = 18 0 − (β − 2α)− α = 180 − (β − α ).

Teraz patrzymy na trójkąt CDE .

∘ ∘ ∘ ∡CDE = 180 − ∡ADF = 18 0 − (180 − (β − α)) = β − α ∡DEC = 180∘ − ∡CDE − ∡ACB = ∘ ∘ = 180 − (β − α )− (1 80 − 2(β − α)) = β − α.

To oznacza, że trójkąt CDE jest równoramienny i rzeczywiście CD = CE .

Wersja PDF