Zadanie nr 9915079
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 12 i 6. Oblicz długość promienia okręgu stycznego do obu przyprostokątnych, którego środek leży na przeciwprostokątnej, oraz oblicz odległości środka od wierzchołków trójkąta .
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku.
Sposób I
Ponieważ środek jest odległy o tyle samo od boków i , to prosta jest dwusieczną kąta . Zatem z twierdzenia o dwusiecznej mamy
Stąd . Aby wyliczyć promień okręgu, korzystamy z podobieństwa trójkątów i .
Pozostało obliczyć długość odcinka . Ponieważ jest to przekątna w kwadracie , więc
Sposób II
Tym razem od razu skorzystajmy z podobieństwa trójkątów i .
Dalej
Stąd oraz .
Odpowiedź: Promień: 4, odległości: , i