Zadanie nr 9915946
Ze zbioru losujemy kolejno bez zwracania 2 liczby i . Dla jakich wartości prawdopodobieństwo tego, że jest większe od ?
Rozwiązanie
Łatwo sprawdzić, że dla prawdopodobieństwo interesującego nas zdarzenia jest równe 0, więc możemy założyć, że .
Sposób I
Powiedzmy, że za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary wylosowanych liczb. Mamy zatem
Warunek oznacza, że liczby są odległe o 2. Powinno być jasne, że liczba możliwości wyboru dla ustalonego zależy od tego, czy jest blisko końca. Dokładniej rzecz biorąc, jeżeli to istnieje tylko jedno . W przeciwnym przypadku są dwie możliwe wartości . Zatem jest
zdarzeń sprzyjających. Tutaj jest delikatne miejsce, bo przypadek lepiej rozważyć osobno (zrobimy to na koniec) – możemy więc założyć, że i to rzeczywiście cztery różne liczby.
Zatem prawdopodobieństwo wynosi
i mamy nierówność
Pozostało sprawdzić przypadek . Mamy dwa zdarzenia sprzyjające: , czyli prawdopodobieństwo wynosi
Sposób II
Tym razem za zdarzenia elementarne przyjmijmy nieuporządkowane pary wylosowanych liczb. Mamy więc
Zauważmy teraz, że jest nieuporządkowanych par spełniających warunek :
Zatem prawdopodobieństwo otrzymania takiej pary jest równe
Pozostało rozwiązać nierówność
Odpowiedź: