/Szkoła średnia

Zadanie nr 9920599

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu (x− 16)2 + y2 = 4 jest okrąg o równaniu (x − 6 )2 + (y − 4)2 = 1 6 , a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną.

Rozwiązanie

Możemy zacząć od szkicowego rysunku.

PIC

Środek jednokładności dwóch okręgów zawsze leży na prostej przechodzącej przez ich środki O 1 = (6,4) i O 2 = (16,0) . Takie środki jednokładności są dwa, z informacji o tym, że skala ma być ujemna wynika, że mamy znaleźć ten leżący na odcinku O 1O 2 . Jak to zrobić? – to proste, ponieważ promienie podanych okręgów mają długości 2 i 4, więc znamy skalę jednokładności k = −2 . Musimy więc znaleźć taki punkt S = (x,y) na odcinku O 1O2 , że O 1S = 2SO 2 .

Sposób I

Najprostszym sposobem wyznaczenia punktu S jest użycie wektorów. Mamy równość

O→S = 2S→O 1 2 [x − 6 ,y− 4] = 2[1 6− x,−y ] [x − 6 ,y− 4] = [32 − 2x ,− 2y].

Porównując współrzędne mamy 38 x = 3 i 4 y = 3

Sposób II

Punkt S można też wyznaczyć nie używając wektorów, w tym celu wystarczy na prostej O1O 2 znaleźć punkt, który jest odległy od O2 o

1 1∘ -------------------- 1√ ---- -|O 1O 2| = -- (16 − 6 )2 + (0 − 4)2 = -- 116 . 3 3 3

Napiszmy równanie prostej O 1O 2 . Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA ) i B = (xB ,yB) :

(y− yA)(xB − xA) − (yB − yA )(x − xA ) = 0

W naszej sytuacji

(y − 4)(16 − 6 )− (0 − 4)(x − 6 ) = 0 / : 2 (y − 4)5 + 2(x − 6 ) = 0 5y + 2x − 32 = 0.

Szukamy na tej prostej punktu S = (x,y) odległego o 1 √ ---- 3 116 od O 2

116 (x − 16)2 + y2 = ---- ( ) 9 5- 2 2 116- 16 − 2y − 16 + y = 9 25-y2 + y2 = 11-6 4 9 29 2 1 16 -4-y = --9- y2 = 116-⋅-4-= 16-. 9 29 9

Stąd 4 y = 3 lub 4 y = − 3 . Drugie z tych rozwiązań odrzucamy, bo punkt S ma być na odcinku O 1O 2 . Z równania prostej mamy wtedy x = 383- .  
Odpowiedź: ( ) 38 4 3 ,3

Wersja PDF