Zadanie nr 9922836
Ostrokątny trójkąt równoramienny o podstawie jest wpisany w okrąg o równaniu . Punkty i leżą na prostej o równaniu .
- Oblicz współrzędne punktów: .
- Oblicz kąty trójkąta .
Rozwiązanie
- Gdy naszkicujemy sobie opisaną sytuację jest jasne, że punkty i to punkty wspólne podanych prostej i okręgu.
Zacznijmy od ich wyliczenia (wstawiamy ) do równania okręgu.
Zatem i (lub na odwrót, ale nie ma to znaczenia). Aby wyznaczyć w ierzchołek , musimy skorzystać z informacji, że trójkąt jest równoramienny. Wierzchołek leży więc na symetralnej odcinka – napiszemy teraz jej równanie. Najprościej jest skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora i przechodzącej przez punkt
W naszej sytuacji punkt to środek odcinka , a wektor . Symetralna ma więc równanie
Szukamy teraz punktu wspólnego tej symetralnej z danym okręgiem.
Aby ustalić, które z tych rozwiązań wybrać, musimy skorzystać z infomracji o tym, że trójkąt jest ostrokątny. Z rysunku widać, że tak będzie tylko dla . Zatem .
Odpowiedź: , a lub - Ponieważ trójkąt jest równoramienny, wystarczy wyliczyć miarę kąta – pozostałe kąty są równe . Miarę kąta wyliczymy z twierdzenia sinusów, najpierw jednak policzmy długość boku .
Pozostało zastosować twierdzenie sinusów
Teraz znowu musimy skorzystać z tego, że trójkąt jest równoramienny (inaczej nie wyznacza jednoznacznie kąta ) i mamy . Zatem .
Odpowiedź: .