Zadanie nr 9928884
Dany jest trójkąt równoboczny . Okrąg o średnicy przecina bok w punkcie .
Wykaż, że .
Rozwiązanie
Sposób I
Dorysujmy odcinek .
Ponieważ kąt jest oparty na średnicy, więc jest prosty. To oznacza, że odcinek jest wysokością trójkąta . Ale wysokość w trójkącie równobocznym pokrywa się ze środkową, czyli .
Sposób II
Niech będzie punktem wspólnym okręgu i boku , a niech będzie środkiem okręgu. Połączmy punkt z punktami i , oraz dorysujmy odcinek . Zauważmy, że oba trójkąty i są równoramienne i każdy z nich ma kąt o mierze . Są zatem równoboczne. To oznacza, że
czyli trójkąt równoramienny też jest równoboczny. To z kolei oznacza, że dwa kąty trójkąta są równe , czyli to też jest trójkąt równoboczny. Dodatkowo wszystkie narysowane trójkąty równoboczne są przystające, czyli w szczególności .
Sposób III
Dorysujmy odcinek .
Trójkąt jest równoboczny i bok jest średnicą okręgu, zatem każdy z jego boków ma długość , gdzie jest promieniem danego okręgu. W szczególności . Teraz patrzymy na trójkąt – jest on równoramienny, bo oraz jeden z jego kątów miarę . Trójkąt ten jest więc równoboczny, czyli . To oznacza, że