Zadanie nr 9932598
Udowodnij, że trzy środkowe rozcinają trójkąt na sześć części o równych polach.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Sposób I
Zauważmy, że trójkąty i mają wspólną wysokość z trójkątem (opuszczoną z wierzchołka ). Ponadto, podstawy w tych trójkątach, na które jest opuszczona ta wysokość są dwa razy krótsze, niż podstawa trójkąta . To oznacza, że
Wiemy ponadto, że punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka). To oznacza, że
(trójkąty te mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą , oraz CF). Stąd
Analogicznie uzasadniamy, że
Sposób II
Tym razem postaramy się nie korzystać z twierdzenia o stosunku podziału środkowych (tak naprawdę po drodze udowodnimy to twierdzenie).
Zauważmy, że mamy 3 pary trójkątów o równych polach
Tak jest, bo trójkąty każdej z tych par mają podstawy równej długości i wspólne wysokości opuszczone na te podstawy, np. dla trójkątów i są to podstawy i wysokość opuszczona z wierzchołka .
Zauważmy ponadto, że
(trójkąty mają równe podstawy i wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka ). Mamy stąd
Podobnie, z równości
otrzymujemy
Udowodniliśmy więc, że