/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 12 marca 2016 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dana jest funkcja f określona wzorem { ||x − 2|− 4| dla x < 0 f(x) = x− 1 dla x ≥ 0
Równanie f(x ) = 2 ma dokładnie
A) jedno rozwiązanie. B) dwa rozwiązania. C) cztery rozwiązania. D) pięć rozwiązań.

Zadanie 2
(1 pkt)

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x ) .

PIC

Wskaż wykres funkcji y = f′(x ) .

PIC

Zadanie 3
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem an+ 1 + an− 1 = an − an− 2 + 5 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 3 . Wiadomo ponadto, że a2 = 3 , a4 = − 4 i a 6 = 9 . Wyraz a3 jest równy
A) − 1 B) 0 C) 5 D) − 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Zbiór K – to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x , dla których wartość liczbowa wyrażenia ∘ ---------- x(4− x2) jest liczbą rzeczywistą. Zatem
A) K = ⟨− 2,0⟩∪ ⟨2,+ ∞ )
B) K = (−∞ ,− 2⟩ ∪ ⟨0,2⟩
C) K = (− 2,0)∪ (2 ,+ ∞ )
D) K = (− ∞ ,− 2)∪ (0,2 )

Zadanie 5
(1 pkt)

Z talii 52 kart wylosowano jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano damę jeżeli wiadomo, że wylosowana karta nie jest ani kierem ani królem?
A) -1 13 B) 1- 12 C) -3 35 D) 3 37

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność |x 2 − 14 10| > |x 2 − 6 06| .

Zadanie 7
(3 pkt)

Oblicz granicę

( 1 1 1 1 1 1) lim √---− --+ -√---− --+ ⋅ ⋅⋅+ -------√--− --- . n→ +∞ 3 3 3 3 9 3n −1 ⋅ 3 3n

Zadanie 8
(3 pkt)

Na ile sposobów można umieścić 6 ponumerowanych kul w czterech szufladach tak, aby w jednej z szuflad były dokładnie 4 kule?

Zadanie 9
(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x ≥ 1 i y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

(x+ y)(x2 − xy + y2 + 3) ≥ 2(x 2 + xy + y2 + 1).

Zadanie 10
(4 pkt)

Długości boków równoległoboku są równe 13 i 21, a jego pole wynosi 252. Oblicz długości przekątnych tego równoległoboku.

Zadanie 11
(4 pkt)

Przez każde dwa sąsiednie wierzchołki czworokąta ABCD wpisanego w okrąg poprowadzono okrąg (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że punkty P ,Q,R ,S , w których przecinają się te okręgi, leżą na jednym okręgu.

Zadanie 12
(4 pkt)

Rozwiąż równanie (4 cos2x − 1)⋅co sx = sin2 x− 3cos2 x , dla ( ) x ∈ − 3π2-,− π2- .

Zadanie 13
(5 pkt)

Dany jest okrąg o0 o równaniu (x + 2)2 + (y − 6)2 = 4 . W drugiej „ćwiartce” układu współrzędnych istnieją dwa okręgi o1, o2 styczne zewnętrznie do okręgu o0 i jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów o1 oraz o2 .

Zadanie 14
(5 pkt)

Dany jest trójmian kwadratowy f(x) = (2m + 9)x 2 + 2 (2m + 3)x − 2m + 1 . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x 2 , spełniające warunek x21 − x22 = x41 − x42 .

Zadanie 15
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD . Spodkiem wysokości ostrosłupa jest środek E krawędzi CD . Oblicz tangens kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa jeżeli |AB | = 2|BC | i |SE| = 3 |BC | .

Zadanie 16
(7 pkt)

Na półkuli o promieniu R opisano stożek w ten sposób, że środek podstawy stożka pokrywa się ze środkiem kuli. Jaka jest najmniejsza możliwa objętość tego stożka?

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania