/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 11 maja 2021 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Różnica cos216 5∘ − sin2 165∘ jest równa
A) − 1 B) √ - − -23 C) 1 − 2 D) √-3 2

Zadanie 2
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f określonej dla każdej liczby rzeczywistej x .

PIC

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji f .
A) f(x ) = -cosx+-1- |cosx|+ 1 B) f(x) = sinx+1-- |sinx|+1 C) f(x ) = |ccoossxx|−−22- D) |sin-x|−2- f (x) = sinx− 2

Zadanie 3
(1 pkt)

Wielomian 4 W (x) = x + 81 jest podzielny przez
A) x − 3 B) x 2 + 9 C) √ -- x 2 − 3 2x + 9 D) √ -- x2 + 3 2x − 9

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba różnych pierwiastków równania 3x + |x− 4| = 0 jest równa
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Oblicz granicę (3n+2)2−-(1−-2n)2- nl→im+ ∞ (2n− 1)2 .

Zadanie 6
(3 pkt)

Niech lo g218 = c . Wykaż, że lo g34 = c−41- .

Zadanie 7
(3 pkt)

Rozwiąż nierówność

2x− 1 2 + 2x -------≤ -------. 1 − x 5x

Zadanie 8
(3 pkt)

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Na bokach AB i AC wybrano punkty – odpowiednio – D i E takie, że 1 |BD | = |AE | = 3|AB | . Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że pole trójkąta DBP jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

Zadanie 9
(4 pkt)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.

Zadanie 10
(4 pkt)

Prosta przechodząca przez punkty A = (8 ,− 6 ) i B = (5,15) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O = (0,0) . Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB .

Zadanie 11
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których trójmian kwadratowy

4x2 − 2(m + 1 )x+ m

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x 1 oraz x 2 , spełniające warunki:

-1- 1-- x1 ⁄= 0, x2 ⁄= 0 oraz x1 + x2 ≤ x + x . 1 2

Zadanie 12
(5 pkt)

Rozwiąż równanie √-2 cos2x = 2 (cosx − sin x) w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Zadanie 13
(4 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta ABC , który ma większą miarę.

Zadanie 14
(6 pkt)

Dane są parabola o równaniu 2 y = x oraz punkty A = (0,2) i B = (1,3) (zobacz rysunek).

PIC

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC , których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C .

  • Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m .
  • Wyznacz wszystkie wartości m , dla których trójkąt ABC jest ostrokątny.

Zadanie 15
(7 pkt)

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 14 4 m 3 . Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m 2 dna
– 75 zł za 1 m 2 ściany bocznej.
Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania