Zadanie nr 9956525
Rozwiąż nierówność .
Rozwiązanie
Sposób I
Zróbmy podstawienie . Wtedy i podana nierówność przyjmuje postać.
Mamy dwa przypadki. Jeżeli , to
Łatwo sprawdzić, że pierwiastkiem tego wielomianu jest . Dzielimy zatem przez dwumian . My zrobimy to grupując wyrazy.
Dalej, , , . Rozwiązaniem tej nierówności jest więc zbiór
Ponieważ miało być , mamy . Ponieważ mamy stąd .
Podobnie w przypadku, gdy ,
Tu pierwiastkiem jest oraz
Dalej, , , . Stąd . Ponieważ , więc . Stąd .
Sposób II
Tym razem spróbujemy nierówność sprowadzić do zwykłej nierówności wielomianowej bez podstawiania. Zauważmy na początku, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne, czyli . Ponadto jeżeli to lewa strona jest nieujemna a prawa ujemna, czyli nierówność nie ma rozwiązań.
Możemy więc założyć, że . Przy takim założeniu lewa strona jest niedodatnia.
Jaki jest znak prawej strony? Jeżeli to prawa strona jest nieujmena i nierówność będzie spełniona.
Pozostał nam przypadek . W tej sytuacji obie strony są ujemne, więc mnożąc obie strony przez -1 otrzymamy nierówność z dodatnimi stronami
Podnosimy nierówność stronami do kwadratu.
Uwzględniając wszystkie rozpatrzone przypadki mamy .
Odpowiedź: