Zadanie nr 9957996
Przekształcenie określone jest w następujący sposób: , gdzie .
- Wykaż, że przekształcenie jest izometrią.
- W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach , , , a następnie znajdź jego obraz w przekształceniu .
- Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną na bok .
- Oblicz pole trójkąta , który jest obrazem trójkąta w jednokładności o środku w punkcie (0,0) i skali .
Rozwiązanie
-
Sposób I
Przekształcenie możemy rozpisać następująco
gdzie i . Przekształcenie to jest zatem złożeniem symetrii względem prostej z przesunięciem (translacją) o wektor (najpierw symetria, potem translacja). Jest to więc izometria.
Sposób II
Musimy sprawdzić, że przekształcenie to zachowuje odległość. Jeżeli i , to , . Mamy zatem
- Korzystając ze wzoru na (z treści zadania), wyliczamy
- Skorzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora i przechodzącej przez punkt
W naszej sytuacji
oraz . Stąd szukana prosta to
Odpowiedź: - Aby obliczyć pole trójkąta , korzystamy ze wzoru
W naszej sytuacji
Ponieważ pole przy jednokładności zmienia się jak kwadrat skali (bo odcinki zmieniają się jak skala, a pole to iloczyn dwóch odcinków), to
Odpowiedź: 262,5