Zadanie nr 9963310
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego suma długości wszystkich krawędzi wynosi 12.
- Napisz wzór funkcji wyrażającej pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, w zależności od długości krawędzi podstawy . Podaj dziedzinę funkcji .
- Wyznacz długości krawędzi graniastosłupa, dla których pole powierzchni całkowitej jest największe.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku
Z warunku na sumę długości wszystkich krawędzi otrzymujemy
- Liczymy pole powierzchni całkowitej
Oczywiście musi być oraz . Drugą z tych nierówności możemy zapisać w postaci:
Zatem dziedziną jest zbiór .
Odpowiedź: , dziedzina:
- Musimy znaleźć największą wartość funkcji . Jest to trójmian kwadratowy o ujemnym współczynniku przy najwyższej potędze, więc jego wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Największą wartość pola otrzymamy zatem w wierzchołku, czyli dokładnie w środku między pierwiastkami. Pierwiastkami funkcji są liczby 0 i 2, więc największą wartość pola otrzymamy dla
Wtedy .
Odpowiedź: