Zadanie nr 9963925
Udowodnij, że dowolne liczby rzeczywiste i spełniają nierówność
Rozwiązanie
Sposób I
Jeżeli zapiszemy daną nierówność w postaci
to widać, że mamy do czynienia ze zwykłą nierównością kwadratową. Liczymy -ę.
Ponieważ z założenia wykres trójmianu znajdującego się po lewej stronie nierówności jest parabolą o ramionach skierowanych w górę, która jest styczna do osi . To oznacza, że funkcja ta nie przyjmuje wartości ujemnych.
Sposób II
Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.
Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musi być spełniona.
Sposób III
Korzystamy z nierówności
między średnią arytmetyczną i geometryczną.
Mamy zatem