Zadanie nr 9967350
Na zewnątrz kwadratu na bokach i zbudowano trójkąty równoboczne i . Uzasadnij, że proste i są prostopadłe.
Rozwiązanie
Sposób I
Patrzymy na trójkąt . Pokażemy, że w tym trójkącie .
Zauważmy najpierw, że każdy z trójkątów i jest równoramienny oraz
Trójkąty i są więc przystające. W szczególności
Patrzymy na trójkąt .
Sposób II
Tak jak poprzednio stwierdzamy, że trójkąty i są równoramienne i kąt między ramionami ma miarę . Zatem
Zatem
To oznacza, że prosta jest dwusieczną w trójkącie równoramiennym . Dwusieczna kąta między ramionami kąta w trójkącie równoramiennym pokrywa się z jego wysokością, zatem prosta jest prostopadła do .
Sposób III
Dorysujmy odcinki i . Zauważmy, że trójkąty i są równoramienne () oraz w każdym z nich kąt między ramionami ma miarę . Trójkąty te są więc przystające, czyli . To jednak oznacza, że czworokąt jest deltoidem. Przekątne deltoidu są prostopadłe, czyli .
Sposób IV
Niech będzie obrotem o względem środka kwadratu .
Obrót ten przekształca trójkąt na , oraz punkt na punkt . Zatem . To oznacza, że odcinki te są prostopadłe.