Zadanie nr 9969883
Dane jest równanie z niewiadomą . Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru .
Rozwiązanie
Sposób I
Możemy narysować wykres lewej strony równania – jest to hiperbola przesunięta o 3 jednostki w górę i część poniżej osi jest zagięta do góry.
Z tego wykresu łatwo odczytujemy liczbę jego punktów przecięcia z prostą .
Sposób II
Po pierwsze, jeżeli to równanie to nie ma rozwiązań. Jeżeli natomiast , to równanie to jest równoważne dwóm równaniom
Widać więc, że maksymalnie są dwa rozwiązania. Pozostało sprawdzić, co się dzieje dla i kiedy te dwa rozwiązania są równe.
Dla dwa pierwsze z równań nie ma rozwiązania (bo jest postaci ), zatem wyjściowe równanie ma jedno rozwiązanie.
Sprawdźmy jescze kiedy dwa rozwiązania są równe
Zatem wyjściowe równanie ma
Odpowiedź: