/Szkoła średnia

Zadanie nr 9971751

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że punkt przecięcia przekątnych trapezu leży na prostej przechodzącej przez środki jego podstaw.

Rozwiązanie

Sposób I

Niech S będzie punktem przecięcia przekątnych, a K i L środkami podstaw AB i CD .


PIC

Wiemy, że trójkąty ABS i CDS są podobne, oznaczmy skalę ich podobieństwa przez k . W takim razie jednokładność J o środku w S i skali − k przekształca trójkąt CDS na trójkąt ABS . W szczególności przekształca środek boku CD na środek boku AB . Zatem J(L) = K . To jednak oznacza, że środek S jednokładności leży na odcinku KL .

Sposób II

Niech L będzie środkiem podstawy CD , S punktem przecięcia się przekątnych, a K punktem wspólnym odcinków LS i AB . Zauważmy, że mamy dwie pary trójkątów podobnych: AKS i CLS oraz BKS i DLS . Z tych podobieństw mamy

AK CL DL BK ----= --- = ----= ----, SK LS LS SK

co oznacza, że K jest środkiem podstawy AB .

Sposób III

Teza jest oczywista dla równoległoboku, więc załóżmy, że trapez ma boki nierównoległe i niech E będzie punktem wspólnym zwierających je prostych.


PIC

Zauważmy, że jeżeli L jest środkiem odcinka CD to prosta EL jest środkową trójkąta DCE . Na mocy twierdzenia Talesa prosta ta dzieli każdy poziomy odcinek (tzn. odcinek równoległy do CD ), którego końce leżą na prostych AE i BE na dwie równe części. W szczególności prosta ta przechodzi przez środek K podstawy AB . Ponadto, jeżeli S jest punktem wspólnym tej prostej z odcinkiem PQ równoległym do CD i przechodzącym przez punkt przecięcia przekątnych to PS = SQ . Jednak jak wiadomo tę samą własność ma punkt przecięcia przekątnych trapezu. Zatem S musi być punktem przecięcia przekątnych.

Wersja PDF
spinner