Zadanie nr 9996658

Niech będzie prostokątem o polu i stosunku długości boków równym 3:2. Konstruujemy kolejno prostokąty P2,P3,P 4... podobne do prostokąta takie, że dłuższy bok kolejnego prostokąta jest równy krótszemu bokowi poprzedniego prostokąta. Oblicz sumę pól prostokątów P 1,P 2,P3,P4,P5 .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Jeżeli oznaczymy przez i boki jednego z prostokątów, to kolejny prostokąt ma boki długości oraz

2-⋅2a = 4a. 3 3

Stosunek pól dwóch kolejnych prostokątów jest więc równy

4 2a-⋅3a- 4- q = 2a ⋅3a = 9 .

To oznacza, że pola prostokątów P1,P 2,P 3... tworzą ciąg geometryczny (an) o pierwszym wyrazie a1 = S i ilorazie q = 4 9 . Suma 5 początkowych wyrazów tego ciągu, to