/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 25 marca 2017 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wyrażenie (n+-2)!⋅(n−1)! (n+1)!⋅n! dla liczby naturalnej n ≥ 1 jest równe
A) 2 n + n − 2 B) 2 2 (n − 4)(n − 1) C) 2 n-+2n−-2 n +n D) n+n2-

Zadanie 2
(1 pkt)

Wartość wyrażenia sin 2105∘ − cos2 105∘ jest równa
A) 1 − 2 B) 1 2 C) √-3 2 D) √ - − --3 2

Zadanie 3
(1 pkt)

Ile jest liczb naturalnych dwudziestocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 25?
A) 380 B) 190 C) 250 D) 500

Zadanie 4
(1 pkt)

Pochodna ′ f (x ) funkcji 8x3+4x2+2 f (x) = 8x3+4x2+3 jest określona wzorem
A) ---243x2+82x--2 (8x +4x +3) B) ---3−-12--2- (8x+ 4x+ 3) C) 2 (88xx3+−424xx2+-3)2 D) (8x3+-14x2+-3)2

Zadanie 5
(1 pkt)

Dana jest funkcja f określona wzorem { 2|3−x | dla |x | ≤ 4 f(x) = lo g(|x|− 4) dla |x | > 4
Równanie f(x ) = 4 ma dokładnie
A) jedno rozwiązanie. B) dwa rozwiązania. C) trzy rozwiązania. D) cztery rozwiązania.

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Dane są zdarzenia losowe A ,B ⊆ Ω takie, że 3 P (B) = 7 i 4 P(A ∪ B ) = 5 . Oblicz P(A ∖ B ) , gdzie zdarzenie A ∖B oznacza różnicę zdarzeń A i B .

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz granicę lim log(3−xx)- x→− ∞ 2 .

Zadanie 8
(2 pkt)

W każdej z dwóch szuflad jest tyle samo rękawiczek prawych i lewych, a trzecia szuflada jest pusta. Z każdej z dwóch pierwszych szuflad losujemy jedną rękawiczkę i wkładamy je do trzeciej szuflady. Następnie z trzeciej szuflady losujemy jedną rękawiczkę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że rękawiczka wylosowana z trzeciej szuflady jest lewa.

Zadanie 9
(3 pkt)

Dany jest prostopadłościan ABCDEF GH . Przez wierzchołki A i C oraz środek K krawędzi BF poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną BH w punkcie P (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz |HP | : |HB | .

Zadanie 10
(3 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y takich, że 2 2 (x− 1) + (y+ 2) = 2 , prawdziwa jest nierówność y+ 1 ≤ x .

Zadanie 11
(3 pkt)

Ciąg (an) jest określony dla n ≥ 1 i spełnia warunki

( √2 |{ a1 = 2-- 2an+ 2 = an dla n ≥ 1 |( √ -- 2 2an +3 + an = 0 dla n ≥ 1

Oblicz granicę

lim (a1 + a2 + ⋅ ⋅⋅+ an). n→ +∞

Zadanie 12
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność 2 sinx− √3 ---sin2x-- ≤ 0 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 13
(4 pkt)

W trójkącie prostokątnym stosunek sumy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy 5 4 . Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.

Zadanie 14
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie

x 2 + y 2 + 6mx − 4y + 1 0m 2 − 4m + 2 = 0

opisuje okrąg. Jaka jest największa możliwa długość tego okręgu?

Zadanie 15
(6 pkt)

W stożku o promieniu podstawy r tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α . Przez wierzchołek stożka poprowadzono płaszczyznę, która jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem β > α .

PIC

Wykaż, że pole otrzymanego przekroju stożka jest równe

2 ∘ ---------------------- r-tg-α--sin(β-+-α-)sin(β-−-α)-. cos αsin2 β

Zadanie 16
(5 pkt)

Wielomian W (x) = x3 + ax2 + bx + c ma trzy pierwiastki rzeczywiste, które tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy − 2 . Oblicz współczynniki a , b i c wiedząc, że W (−3 ) = − 48 .

Zadanie 17
(7 pkt)

W metalowym ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o wysokości H i krawędzi podstawy a wydrążono otwór w kształcie walca, którego oś symetrii pokrywa się z osią symetrii ostrosłupa (patrz rysunek). Otwór wydrążono przez podstawę ostrosłupa w ten sposób, że górna podstawa walca nie wystaje poza powierzchnię ostrosłupa. Jaka może być najmniejsza możliwa objętość otrzymanej w ten sposób bryły?

PIC

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania