/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2008

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 10 maja 2008 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Dana jest funkcja 2 f (x) = |(x− m ) − 4m | , gdzie m ∈ R .

  • Naszkicuj wykres funkcji f(x) dla m = 1 .
  • Dla jakich wartości parametru m równanie f (x) = 7 ma dokładnie trzy rozwiązania.
PIC

Zadanie 2
(4 pkt)

Latarnię uliczną umieszczono w odległości 5 m od naroża budynku – tak jak jest to pokazane na rysunku. Wiedząc, że światło latarni oświetla obszar w promieniu 10 m od źródła światła, oblicz jakie jest pole obszaru oświetlanego latarnią.

PIC

Zadanie 3
(3 pkt)

W trójkącie ABC dane są |AB | = 6 , √ -- |BC | = 3 3 oraz ∘ |∡BAC | = 60 . Oblicz pole trójkąta ABC .

Zadanie 4
(4 pkt)

Wiedząc, że suma kwadratów pierwiastków równania

mx 3 + 6mx 2 + (8m − 5 )x − 10 = 0

jest równa 30, wyznacz m .

Zadanie 5
(5 pkt)

Niech an = 9◟9⋅◝⋅◜⋅-9◞ n . Oblicz sumę 12 początkowych wyrazów ciągu (an) .

Zadanie 6
(6 pkt)

Wierzchołkami kwadratu ABCD są punkty o współrzędnych A (0,0) , B(4,0) , C(4,4) i D (0,4) . Dla każdej liczby rzczywistej m ∈ (− 2,4) rozważamy trójkąt o wierzchołkach Pm (m ,0) , Sm (m + 2,0) i Rm (m ,4) . Wyznacz wszystkie wartości prametru m , dla których pole figury, która jest częścią wspólną kwadratu ABCD i trójkąta PmSmRm wynosi 2.

PIC

Zadanie 7
(5 pkt)

Sześcian, którego ściany zostały pomalowane czerwoną farbą, dzielimy 6 płaszczyznami równoległymi do jego ścian na 27 identycznych sześcianików. Losujemy 2 spośród nich.

  • Oblicz prawdopodobieństwo, że łączna liczba czerwonych ścian wylosowanych sześcianików wynosi 3.
  • Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowane sześcianiki mają wspólną ścianę.

Zadanie 8
(5 pkt)
  • Wyznacz wszystkie liczby m , dla których istnieją dwie liczby rzeczywiste, których suma i iloczyn są równe m .
  • Uzasadnij, że jeżeli suma i iloczyn dwóch liczb rzeczywistych jest równa liczbie dodatniej m , to suma sześcianów tych liczb jest nie mniejsza niż 16.

Zadanie 9
(5 pkt)

Płaszczyzna p jest styczna do kuli wpisanej w sześcian ABCDA ′B′C′D ′ o krawędzi długości 2a oraz przecina krawędzie AB , AD i ′ AA w takich punktach E ,F i G odpowiednio, że AE = AF = AG = x . Wykonaj odpowiedni rysunek i wyznacz x .

PIC

Zadanie 10
(5 pkt)

Funkcje 2 f(x ) = − 2x − 2 , 2 2 g (x ) = x + 2ax + a + 1 i 2 2 h(x ) = 4x + b mają tę własność, że dla każdej liczby rzeczywistej x , liczby f (x) , g(x ) i h(x) tworzą (w pewnej kolejności) ciąg geometryczny. Wyznacz możliwe ilorazy tego ciągu.

Zadanie 11
(4 pkt)

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest średnią arytmetyczną drugiej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej. Oblicz sinusy kątów ostrych tego trójkąta.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania