/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010/Materiały pomocnicze

Przykładowe zadania
maturalne z matematyki Matura 2010 poziom podstawowy Informator CKE

1. Wykorzystanie i tworzenie informacji

Zadanie 1

Diagram przedstawia wyniki ankiety, w której ankietowani odpowiedzieli na pytanie, jakie napoje piją między posiłkami. Ankietowani wybierali tylko jeden z czterech rodzajów napojów.

PIC

Na podstawie informacji przedstawionych na diagramie oblicz:

  • ile procent badanych osób pije soki owocowe lub wodę mineralną,
  • ile procent badanych osób nie pije owocowych napojów gazowanych,
  • ile procent badanych osób nie pije soków warzywnych i nie pije wody mineralnej.

Zadanie 2

Dany jest ciąg (an) określony wzorem n 2−n-- an = (−1 ) ⋅ n2 dla n ≥ 1 . Oblicz a 2, a4 i a5 .

Zadanie 3

Przedstaw −1 2 −2 4--−3⋅(3−)1-- 5−(12) w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Zadanie 4

Podaj miejsca zerowe funkcji f(x) = x (x+ 2) .

Zadanie 5

Oblicz a − b , gdy 4 4 a = sin α− cos α , 2 2 b = 1 − 4 sin α cos α dla ∘ α = 60 .

Zadanie 6

Wskaż równanie okręgu o środku w punkcie S = (− 1,2 ) i promieniu √ -- r = 2 .
A) (x + 1)2 + (y − 2)2 = 2
B) √ -- (x+ 1)2 + (y− 2)2 = 2
C) 2 2 (x − 1) + (y + 2) = 2
D) 2 2 √ -- (x + 1) − (y − 2) = 2

2. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

Zadanie 7

Na osi liczbowej zaznaczono przedział A złożony z tych liczb rzeczywistych, których odległość od punktu 1 jest niewiększa od 4,5. Przedział A przesunięto wzdłuż osi o 2 jednostki w kierunku dodatnim, otrzymując przedział B . Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które należą jednocześnie do A i do B .

Zadanie 8

Rozwiąż równanie x + x 3 = 1+ x2 .

Zadanie 9

Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x ) = 2x2 − 4x + 11 w przedziale A = ⟨0,4⟩ .

Zadanie 10

Pan Kowalski planując wyjazd na wakacje letnie w następnym roku postanowił założyć lokatę, wpłacając do banku 2000 zł na okres jednego roku. Ma do wyboru trzy rodzaje lokat: lokata A – oprocentowanie w stosunku rocznym 5%, kapitalizacja odsetek po roku;
lokata B – oprocentowanie w stosunku rocznym 4,8%, kapitalizacja odsetek co pół roku;
lokata C – oprocentowanie w stosunku rocznym 4,6%, kapitalizacja odsetek co kwartał.
Oceń, wykonując odpowiednie obliczenia, która lokata jest najkorzystniejsza dla Pana Kowalskiego.

Zadanie 11

W trójkącie równoramiennym ABC , w którym |AC | = |BC | = 10 cm , wysokość poprowadzona z wierzchołka C jest równa 5 cm. Oblicz miary kątów tego trójkąta. Odpowiedź podaj w stopniach.

Zadanie 12

Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okrąg o środku S , przy czym kąt SAB ma miarę 40∘ . Oblicz miarę kąta CAB .

Zadanie 13

Oblicz odległość punktu A od środka odcinka BC , gdzie A = (1,3), B = (4,7), C = (− 2,− 3) .

Zadanie 14

W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości m jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α . Wiadomo, że sinα = 0,2 . Wyznacz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie 15

O zdarzeniach losowych A i B wiemy, że: 1 2 4 P (A ) = 2, P(B ) = 3, P(A ∪ B) = 5 . Oblicz:

  • P(A ∩ B)
  • P(A ∖B )

Zadanie 16

Na podstawie fragmentu wykresu funkcji kwadratowej y = f(x) wskaż, które zdanie jest prawdziwe.
A) Miejscami zerowymi funkcji są liczby: -2 oraz 4.
B) Funkcja jest rosnąca w przedziale (− 2,4) .
C) Funkcja przyjmuje wartości większe od zera dla x < 1 .
D) Zbiorem wartości funkcji jest przedział (− ∞ ,9) .

PIC

Zadanie 17

W kolejce do kasy biletowej ustawiły się cztery dziewczynki i pięciu chłopców. Liczba wszystkich możliwych ustawień osób w tej kolejce wynosi
A) 4!+5! B) 9! C) 4 ⋅5 D) 4!⋅5 !

3. Modelowanie matematyczne

Zadanie 18

Dany jest prostokąt o bokach a i b . Zmniejszamy długość boku a o 10% oraz zwiększamy długość boku b o 20%.

  • O ile procent zwiększy się pole tego prostokąta?
  • Wyznacz długość boku b , dla której nowy prostokąt będzie miał taki sam obwód jak prostokąt wyjściowy, jeśli wiadomo, że bok a ma długość 30 cm.

Zadanie 19

Liczbę 42 przedstaw w postaci sumy dwóch składników tak, by różnica ich kwadratów była równa 168.

Zadanie 20

Dla każdej liczby rzeczywistej b równanie 1 2 y = 2x − bx + 2 opisuje pewną parabolę. Wyznacz wszystkie wartości parametru b , dla których wierzchołek paraboli leży nad osią Ox .

Zadanie 21

Punkt B = (− 1,9) należy do okręgu stycznego do osi Ox w punkcie A = (2,0) . Wyznacz równanie tego okręgu.

Zadanie 22

Strzelając do tarczy pewien strzelec uzyskuje co najmniej 9 punktów z prawdopodobieństwem 0,5, a co najwyżej 9 punktów z prawdopodobieństwem 0,7. Oblicz prawdopodobieństwo, że ten strzelec uzyska dokładnie 9 punktów.

Zadanie 23

Długość ramienia BC trapezu prostokątnego jest dwa razy większa od różnicy długości jego podstaw. Kąt ABC ma miarę

PIC

A) 3 0∘ B) 45∘ C) 60 ∘ D) 75∘

4. Użycie i tworzenie strategii

Zadanie 24

Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich a i b , spełniających nierówność 5 < a < 6 7 b 7 .

Zadanie 25

Stosując wzory skróconego mnożenia rozłóż na czynniki wyrażenie 1 − a2 + 2ab − b2 .

Zadanie 26

W ciągu arytmetycznym (an) dane są wyrazy: a3 = 4, a6 = 19 . Wyznacz wszystkie wartości n , dla których wyrazy ciągu (an) są mniejsze od 200.

Zadanie 27

Liczby dodatnie a,b,c spełniają warunek: lo g4c = log3 b = log2 a = 2 . Oblicz √ ---- abc .

Zadanie 28

Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu 2 2 x + (y − 3) = 6 z prostą o równaniu 3x + y − 15 = 0 ?

Zadanie 29

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej g jest przedział (− ∞ ,5⟩ , a zbiorem rozwiązań nierówności g(x ) > 0 jest przedział (2,8) . Wyznacz wzór funkcji g .

Zadanie 30

Rozwiąż równanie (2x + 1)+ (2x + 4)+ (2x+ 7)+ ...+ (2x + 28 ) = 155 , jeśli wiadomo, że składniki po lewej stronie są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego.

Zadanie 31

Wiedząc, że α jest kątem ostrym i tgα = 2 , oblicz wartość wyrażenia 4cosα−-3sin-α 3cosα+ 5sin α .

Zadanie 32

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej AB , taki że sin ∡BAC = 0,3 i |AC | = 7 . Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 33

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie zaznaczono punkty A = (2,0) i B = (4,0) . Wyznacz wszystkie możliwe położenia punktu C , dla których ABC jest trójkątem równoramiennym o podstawie AB i polu równym 3.

Zadanie 34

Rzucamy trzy razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz prawdopodobieństwo, że w każdym rzucie liczba oczek będzie większa od numeru rzutu.

5. Rozumowanie i argumentacja

Zadanie 35

Wiadomo, że 1,5849 jest przybliżeniem liczby 1 00,2 z zaokrągleniem do 4 miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie liczby − 4 10 5 z zaokrągleniem do 3 miejsc po przecinku oraz przybliżenie liczby 10115 z zaokrągleniem do 1 miejsca po przecinku.

Zadanie 36

Wykaż, że dla m = 3 nierówność x 2 + (2m − 3)x + 2m + 5 > 0 jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste x .

Zadanie 37

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba 5, maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca to ⟨2,+ ∞ ) . Największa wartość funkcji f w przedziale ⟨− 8,− 7⟩ jest równa (− 24) . Wyznacz wzór funkcji f i narysuj jej wykres.

Zadanie 38

W pewnym trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa √- 2-3- 3 . Oblicz iloczyn sinusów tych kątów.

Zadanie 39

Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD . Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S . Wykaż, że |SA | ⋅|SD | = |SB |⋅ |SC | .

Zadanie 40

Prostokąt ABCD obracając się wokół boku AB , zakreślił walec w 1 . Ten sam prostokąt obracając się wokół boku AD , zakreślił walec w 2 . Otrzymane walce mają równe pola powierzchni całkowitych. Wykaż, że prostokąt ABCD jest kwadratem.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania