/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010/Materiały pomocnicze

Przykładowe zadania
maturalne Matura 2010 poziom rozszerzony Informator CKE

1. Wykorzystanie i tworzenie informacji

Zadanie 1

Oblicz (∘ ----√--- ∘ ----√--)2 2 − 3 − 2+ 3 .

Zadanie 2

Miary dwóch kątów trójkąta wynoszą π 6- i π -5 . Oblicz miarę trzeciego kąta. Odpowiedź podaj w stopniach.

Zadanie 3

Dane jest równanie 2 sin x = a + 1 , z niewiadomą x . Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których dane równanie nie ma rozwiązań.

Zadanie 4

Wyznacz miejsca zerowe funkcji

( |{ x + 5 dla x < − 5 f (x) = −x + 2 dla − 5 ≤ x < 5 |( x − 6 dla x ≥ 5.

2. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

Zadanie 5

Rozwiąż równanie lo g5(log4(log 2x)) = 0 .

Zadanie 6

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = -1--− 1 x+1 dla wszystkich liczb rzeczywistych x ⁄= − 1 . Rozwiąż nierówność f(x) > f (2− x) .

Zadanie 7

Narysuj wykres funkcji f określonej w przedziale ⟨− 2,2⟩ wzorem x−1 f (x) = 2 .

Zadanie 8

Pole wycinka koła o promieniu 3 cm jest równe 2 cm 2 . Oblicz miarę łukową kąta środkowego tego wycinka.

Zadanie 9

Punkty A = (1,1), B = (5,5), C = (3,5) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD niebędącego równoległobokiem, w którym AB ∥ CD .

  • Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu.
  • Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 10

Na okręgu zaznaczono sześć różnych punktów. Ile różnych wielokątów wypukłych o wszystkich wierzchołkach w tych punktach można narysować?

Zadanie 11

Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu

x 17 − mx 15 + (m − 2)x10 + 2x+ m 2 − 2

przez dwumian x − 1 jest równa 3?

Zadanie 12

Wyznacz równanie okręgu o środku A = (2,3) , stycznego do prostej o równaniu x − 2y+ 1 = 0 .

3. Modelowanie matematyczne

Zadanie 13

Niech A będzie zbiorem wszystkich liczb x , które spełniają równość |x − 1|+ |x − 3 | = 2 . Niech B będzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktów 4 i 6 jest niewiększa niż 4. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B oraz wszystkie punkty, które należą jednocześnie do A i do B .

Zadanie 14

Wiedząc, że przedział 3 (− 2;0) jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 2 x < m z niewiadomą x , oblicz m .

Zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu równym 6, których dwa sąsiednie boki zawarte są w osiach Ox i Oy układu współrzędnych. Wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem tych wierzchołków rozpatrywanych prostokątów, które nie leżą na żadnej z osi układu współrzędnych. Narysuj tę krzywą.

Zadanie 16

Miary pięciu kątów tworzą ciąg arytmetyczny. Drugim wyrazem tego ciągu jest 150 ∘ , a czwartym 2 70∘ . Oblicz sumę sinusów tych pięciu kątów.

Zadanie 17

Dane jest równanie x2 + (3m − 2)x = −m − 2 z niewiadomą x . Sformułuj warunki, jakie powinien spełniać parametr m , by to równanie miało dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności jest dodatnia.

Zadanie 18

Wyznacz pierwsze trzy wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że są one dodatnie, ich suma jest równa 21 oraz suma ich odwrotności jest równa -7 12 .

Zadanie 19

Z szuflady, w której znajduje się 10 różnych par rękawiczek wybieramy losowo cztery rękawiczki. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
A – wśród wylosowanych rękawiczek nie będzie pary,
B – wśród wylosowanych rękawiczek będzie dokładnie jedna para.

4. Użycie i tworzenie strategii

Zadanie 20

Wyznacz wszystkie wartości parametru p , dla których równanie |x − 2| + |x+ 3| = p ma dokładnie dwa rozwiązania.

Zadanie 21

Wykaż, że dla a ∈ (2,3) zachodzi równość √-2----- √-2----- -a-−3−6aa+-9+ -aa−−4a2+4-= 2 .

Zadanie 22

Dane jest równanie 2 x + bx + c = 0 z niewiadomą x . Wyznacz wartości b i c tak, by były one rozwiązaniami danego równania.

Zadanie 23

Dane są funkcje liniowe g i h określone wzorami: g (x) = ax + b i h(x ) = bx + a . Wiadomo, że funkcja g jest rosnąca, a h malejąca.

  • Wyznacz pierwszą współrzędna punktu przecięcia wykresów tych funkcji.
  • Oblicz liczby a i b wiedząc, że wykresy funkcji g i h są prostymi prostopadłymi, a punkt ich przecięcia leży na osi Ox .

Zadanie 24

Dany jest ciąg (a ) n mający tę własność, że dla każdej liczby naturalnej n suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 1 2 2(7n − n ) . Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu. Wykaż, że (an) jest ciągiem arytmetycznym.

Zadanie 25

Proste zawierające ramiona BC i DA trapezu ABCD przecinają się w punkcie S . Dane są: AB = 6 , CD = 2 oraz obwód trójkąta SCD równy √ --- 1 8 . Oblicz obwód trójkąta SAB .

Zadanie 26

W pewnym trapezie kąty przy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają miary α oraz 90∘ + α . Jedno z ramion tego trapezu ma długość t . Wyznacz różnicę długości podstaw tego trapezu.

Zadanie 27

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Dane są |BC | = a, |CD | = b , |∡DAB | = α . Wyznacz długość przekątnej BD .

Zadanie 28

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Odcinek DS jest wysokością ostrosłupa i ma długość 6. Punkt M jest środkiem odcinka DS . Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną BCM .

Zadanie 29

Ze zbioru liczb {1,2,...,2n + 5 } wybieramy jednocześnie dwie liczby (nie uwzględniamy kolejności). Na ile sposobów możemy to zrobić, tak aby otrzymać dwie liczby takie, że:

  • ich różnica będzie liczbą parzystą,
  • suma ich kwadratów będzie liczbą podzielną przez cztery?

Zadanie 30

Narysuj przekrój równoległościanu płaszczyzną P QR .

PIC

Zadanie 31

Wiedząc, że dla sum częściowych pewnego ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich prawdziwa jest równość S14 = 5 ⋅S7 , oblicz iloraz tego ciągu.

5. Rozumowanie i argumentacja

Zadanie 32

Wielomian f jest określony wzorem 4 3 2 f(x) = ax − 9x + 3x + 7x + b dla pewnych liczb pierwszych a oraz b . Wiadomo, ze liczba 32 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Oblicz a i b .

Zadanie 33

Uzasadnij, że dla dowolnej liczby całkowitej m rozwiązania równania x 2 + mx + m − 1 = 0 z niewiadomą x są liczbami całkowitymi.

Zadanie 34

Funkcja g jest określona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych w następujący sposób: jeśli x ∈ ⟨k,k+ 1) dla pewnej liczby całkowitej k , to g (x ) = kx − k − 1 .

  • Narysuj wykres funkcji g w przedziale ⟨− 2,0) .
  • Uzasadnij, że funkcja g nie ma miejsc zerowych.
  • Rozwiąż równanie g (x) = 2010 .

Zadanie 35

Wykaż, że jeżeli liczby b, c, 2b− a są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to liczby ab, b2, c2 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Zadanie 36

Wykaż, że wyrażenie -−-cos2x- = tg x+ -1- sinxcosx tg x nie jest tożsamością.

Zadanie 37

Dany jest taki czworokąt wypukły ABCD , że okręgi wpisane w trójkąty ABC i ADC są styczne. Wykaż, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Zadanie 38

Dane są punkty A = (2,3) i B = (5,4) . Na prostej o równaniu y = 5 wyznacz punkt C tak, aby łamana ACB miała jak najmniejszą długość. Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 39

Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS . Punkt M jest środkiem boku AB i |AM | = |MC | . Odcinek AS jest wysokością tego ostrosłupa. Wykaż, że kąt SCB jest prosty.

Zadanie 40

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD , w którym AB = 1 , √ -- BC = 2 . Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa mają długość 1. Wyznacz wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Zadanie 41

Tabela zawiera niektóre wyniki pisemnego sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej (ocenionego w sześciostopniowej skali ocen).

  Dziewczęta Chłopcy
liczba osób 11 14
średnia ocen 4,0 3,8
odchylenie standardowe 1,1 1,8

Oblicz średnią ocen z tego sprawdzianu oraz odchylenie standardowe dla całej klasy. Wyniki podaj z zaokrągleniem do jednego miejsca po przecinku.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania