/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010/Materiały pomocnicze

Zbiór zadań maturalnych
z Matematyki Matura 2010
poziom podstawowy Informator CKE Część 2: zadania otwarte

Zadania krótkiej odpowiedzi

Zadanie 51
(2 pkt)

Rozwiąż równanie 2−-3x 1 1− 2x = − 2 .

Zadanie 52
(2 pkt)

Rozwiąż układ równań { x+ 3y = 5 2x− y = 3.

Zadanie 53
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność x 2 + 6x − 7 ≤ 0 .

Zadanie 54
(2 pkt)

Rozwiąż równanie 2x 3 − x 2 − 6x + 3 = 0 .

Zadanie 55
(2 pkt)

O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1) = 2 oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt P = (− 2,3) . Wyznacz wzór funkcji f .

Zadanie 56
(2 pkt)

Oblicz miejsca zerowe funkcji

{ 2x+ 1 dla x ≤ 0 f(x) = x+ 2 dla x > 0 .

Zadanie 57
(2 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji

{ f(x) = 2x+ 1 dla x ≤ 0 x+ 2 dla x > 0 .

Zadanie 58
(2 pkt)

Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f(x) = x 2 − 6x + 1 w przedziale ⟨0,1⟩ .

Zadanie 59
(2 pkt)

Wielomiany W (x) = ax(x + b)2 i V (x) = x3 + 2x2 + x są równe. Oblicz a i b .

Zadanie 60
(2 pkt)

Wyrażenie x−33 − xx+1- zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.

Zadanie 61
(2 pkt)

Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 2x− y− 11 = 0 i przechodzącej przez punkt P = (1,2) .

Zadanie 62
(2 pkt)

Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi Oy , którego środkiem jest punkt S = (3,− 5) .

Zadanie 63
(2 pkt)

Wyznacz równanie okręgu o środku S = (3,− 5) przechodzącego przez początek układu współrzędnych.

Zadanie 64
(2 pkt)

Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC , którego wierzchołkami są punkty: A = (− 2,− 1),B = (6,1),C = (7,10) .

Zadanie 65
(2 pkt)

W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę α . Oblicz sin α⋅ cosα .

Zadanie 66
(2 pkt)

Kąt α jest ostry i 1 sin α = 4 . Oblicz 2 3 + 2 tg α .

Zadanie 67
(2 pkt)

Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | .

PIC

Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AB | = |AD | = |CD | . Oblicz miary kątów trójkąta ABC .

Zadanie 68
(2 pkt)

Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AB | = 24 i |AC | = |BC | = 13 .

Zadanie 69
(2 pkt)

Liczby 4,10 ,c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c .

Zadanie 70
(2 pkt)

Liczby 6,10 ,c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c .

Zadanie 71
(2 pkt)

Liczby 6,10 ,c są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz c .

Zadanie 72
(2 pkt)

Liczby x − 1,x ,5 są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz x .

Zadanie 73
(2 pkt)

Obwód czworokąta wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkąta ABD jest równy 46 cm, a obwód trójkąta BCD jest równy 36 cm. Oblicz długość przekątnej BD .

Zadanie 74
(2 pkt)

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (an) określony wzorem 2 an = n − 2n − 24 dla n ≥ 1 ?

Zadanie 75
(2 pkt)

Liczby 2,x − 3,8 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x .

Zadanie 76
(2 pkt)

Wyrazami ciągu arytmetycznego (an) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Ponadto a3 = 12 . Oblicz a15 .

Zadanie 77
(2 pkt)

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste?
Uwaga: przypominamy, że zero jest liczbą parzystą.

Zadanie 78
(2 pkt)

Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20?

Zadanie 79
(2 pkt)

Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry jedności?

Zadanie 80
(2 pkt)

Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty, a na drugiej 4 punkty.

PIC

Ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów?

Zadanie 81
(2 pkt)

Średnia arytmetyczna liczb: 3,1,1 ,0,x,0 jest równa 2. Oblicz x .

Zadanie 82
(2 pkt)

Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na poniższym diagramie częstości

PIC

Zadanie 83
(2 pkt)

Oblicz medianę danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1.

Zadanie 84
(2 pkt)

Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności

Wartość 0123
Liczebność4311

Zadanie 85
(2 pkt)

Ze zbioru liczb {1 ,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ,11} wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3 lub przez 2.

Zadanie 86
(2 pkt)

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 15.

Zadanie 87
(2 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego 5.

Zadanie 88
(2 pkt)

A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω , że A ⊆ B oraz P (A ) = 0,3 i P(B ) = 0,4 . Oblicz prawdopodobieństwo P(A ∪ B) .

Zadanie 89
(2 pkt)

A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω , że A ⊆ B oraz P (A ) = 0,3 i P(B ) = 0,7 . Oblicz prawdopodobieństwo różnicy B ∖A .

Zadanie 90
(2 pkt)

Przekątna sześcianu ma długość 9. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

PIC

Zadanie 91
(2 pkt)

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 12. Wysokość stożka jest równa 8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

PIC

Zadanie 92
(2 pkt)

Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy.

Zadanie 93
(2 pkt)

Czworokąty ABCD i AP QR są kwadratami. Udowodnij, że |BP | = |DR | .

PIC

Zadanie 94
(2 pkt)

Na boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by |∡CAD | = |∡ABC | . Odcinek AE jest dwusieczną kąta DAB . Udowodnij, że |CE | = |AC | .

PIC

Zadania rozszerzonej odpowiedzi

Zadanie 95

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru {0 ,1,2,3} .

Zadanie 96

Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 97

Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 182 km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości B do miejscowości A jedzie ze średnią prędkością mniejszą od 25 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości A do miejscowości B wyjeżdża o 1 godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o 7 km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości A przebył do tego miejsca 193 całej drogi z A do B . Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?

Zadanie 98

Uczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej to przeczytałby tę książkę o 3 dni wcześniej. Ile dni czytał tę książkę?

Zadanie 99

Trzy liczby, których suma jest równa 93, tworzą ciąg geometryczny. Te same liczby stanowią pierwszy, drugi oraz siódmy wyraz ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

Zadanie 100

Wyznacz wzór na n -ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

Zadanie 101

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD . Pole trójkąta równoramiennego ACS jest równe 120 oraz |AC | : |AS | = 10 : 13 . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Zadanie 102

Podstawą ostrosłupa ABCDE jest kwadrat ABCD . Punkt F jest środkiem krawędzi AD , odcinek EF jest wysokością ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że AE = 15,BE = 17 .

PIC

Zadanie 103

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym BC = 30 , AC = 40 i AB = 5 0 . Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku AB w punkcie M . Oblicz długość odcinka CM .

PIC

Zadanie 104

Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC , w którym ∘ |∡ACB | = 90 oraz |AC | = 5,|BC | = 12 zbudowano kwadrat ACDE .

PIC

Punkt H leży na prostej AB i kąt |∡EHA | = 90∘ . Oblicz pole trójkąta HAE .

Zadanie 105

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność √ ------- √ ------- 250 + 1+ 250 − 1 < 226 .

Zadanie 106

Udowodnij, że jeśli

  • x,y są liczbami rzeczywistymi, to x 2 + y 2 ≥ 2xy .
  • x,y,z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x + y + z = 1 , to x2 + y2 + z2 ≥ 1 3 .

Zadanie 107

Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | .

PIC

Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AD | = |CD | oraz |AB | = |BD | . Udowodnij, że |∡ADC | = 5⋅ |∡ACD | .

Zadanie 108

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD (punkty A ,B,C ,D i O są współliniowe).

PIC

Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O ,P i R są współliniowe. Udowodnij, że |∡AP B |+ |∡CRD | = 1 80∘ .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania