/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Różne

Zadanie nr 1190331

Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta AOB oraz jego miarę, jeżeli O = (0,0), A = (8,0) oraz

  • B = (8,8)
  • B = (−8 ,8)
  • √ -- B = (−8 ,8 3)
  • √ -- B = (8 3,− 8)
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Rozpoczynamy od rysunku.
    PIC

    Z obrazka widać, że

    -AB- 8- ∘ tg α = OA = 8 = 1 ⇒ α = 45 .

    Zatem

    √ -- sin45 ∘ = cos45 ∘ = --2, tg 45∘ = ctg 45∘ = 1. 2

     
    Odpowiedź: √ - α = 4 5∘, sin 45∘ = cos 45∘ =--2, tg 45∘ = ctg 45∘ = 1 2

  • Jeżeli punkt C jest rzutem punktu B na oś Ox to podobnie jak w poprzednim podpunkcie otrzymujemy
    BC 8 tg β = ----= --= 1 ⇒ β = 45∘. CO 8

    Zatem α = 180∘ − 45∘ = 135∘ oraz

    -- √ 2 sin 135∘ = sin (180∘ − 45∘) = sin 45∘ = ---- 2 √ -- ∘ ∘ ∘ ∘ --2- cos13 5 = cos(180 − 4 5 ) = − cos 45 = − 2 ∘ ∘ ∘ ∘ tg 135 = tg (180 − 45 ) = − tg 45 = − 1 ctg 135 ∘ = ctg (180∘ − 45∘) = − ctg45∘ = − 1.

     
    Odpowiedź: √- √ - α = 1 35∘, sin 135∘ = -2, cos1 35∘ = − --2, tg 135∘ = ctg 135∘ = − 1 2 2

  • W zasadzie moglibyśmy postąpić podobnie jak w poprzednim podpunkcie rozbijając szukany kąt na dwa kąty, ale zamiast tego będziemy mądrzejsi i skorzystamy z ogólnej definicji funkcji trygonometrycznych.
    PIC

    Wyliczmy na początek długość promienia wodzącego

    ∘ ----------------- 2 √ --2 √ ----------- √ ------ BO = (−8 ) + (8 3) = 64 + 64 ⋅3 = 64 ⋅4 = 8 ⋅2 = 1 6.

    Jeżeli oznaczymy B = (x ,y ) to mamy

    √ -- √ -- sin α = -y--= 8--3-= --3- BO 16 2 -x-- −8-- 1- co sα = BO = 16 = − 2 √ -- √ -- tg α = y- = 8--3-= − 3 x − 8 √ -- x − 8 3 ctg α = -- = -√--- = − ----. y 8 3 3

    Łatwo odczytać z tych wartości, że α = 180∘ − 60 ∘ = 120∘ .  
    Odpowiedź: √ 3 √ -- √3 α = 1 20∘, sin α =-2-, cosα = − 12, tg α = − 3, ctgα = − -3-

  • Wyliczmy na początek długość promienia wodzącego
    ∘ --√-------------- √ ----------- √ ------ BO = (8 3)2 + (− 8)2 = 64 ⋅3+ 64 = 64 ⋅4 = 8 ⋅2 = 1 6.

    Jeżeli oznaczymy B = (x ,y ) to mamy

    sin α = --y- = −-8-= − 1- BO 16√ -- 2√ -- x 8 3 3 co sα = ----= -----= ---- BO 16 √ -2 y- -−-8- --3- tg α = x = 8 √ 3-= − 3 √ -- x- 8---3 √ -- tg α = y = − 8 = − 3.

    Łatwo odczytać z tych wartości, że ∘ α = − 30 lub jak ktoś woli ∘ ∘ ∘ 360 − 30 = 330 .  
    Odpowiedź: √ - √ - α = 3 30∘, sin α = − 1, cos α =--3, tg α = −--3, c tg α = − √ 3 2 2 3

Wersja PDF