Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8732542

Punkty A ,B,C ,D ,E,F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym  √ -- A = (0 ,2 3) , B = (2,0) , a C leży na osi Ox . Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że znając współrzędne dwóch kolejnych wierzchołków sześciokąta, możemy obliczyć długość jego boku.

 ∘ -------√----- √ ------- AB = 22 + (2 3)2 = 4+ 1 2 = 4.

W takim razie C = (6,0) i możemy naszkicować opisaną sytuację.


PIC


Sześciokąt foremny skład się z 6 przystających trójkątów równobocznych o wspólnym wierzchołku w środku S sześciokąta. Współrzędne punktu S łatwo wyznaczyć: jego druga współrzędna jest taka sama jak druga współrzędna punktu A , a pierwsza jest równa 4 (bo prosta x = 4 jest osią symetrii sześciokąta). Zatem  √ -- S = (4,2 3) . To z kolei pozwala wyznaczyć współrzędne punktu E .

 √ -- √ -- S = B-+-E- ⇒ E = 2S− B = (8 ,4 3)− (2,0) = (6,4 3). 2

Szukana styczna jest prostopadła do promienia SE , więc jest równoległa do prostej AC . Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej AC . Szukamy prostej AC w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów A i C .

{ √ -- 2 3 = b 0 = 6a+ b.

Stąd

 √ -- √ -- a = − 1b = − 1-⋅2 3 = − --3-. 6 6 3

Szukana styczna ma ten sam współczynnik kierunkowy i przechodzi przez punkt  √ -- E = (6,4 3) . Jest to więc prosta

 √ -- √ -- √ -- --3- √ -- --3- √ -- √ -- --3- √ -- y = − 3 (x − 6)+ 4 3 = − 3 x + 2 3 + 4 3 = − 3 x + 6 3.

 
Odpowiedź:  √ 3 √ -- − -3-x+ 6 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!